Modulo Calculator.

Format

Du kan se modulooperationer på tal uttryckta som något av följande

    .

  • a modulo n
  • a mod n (förkortad version)

Exempel på matematiska problem

17 modulo 3

  • 17 – 3 = 14
  • 14 – 3 = 11
  • 11 – 3 = 8
  • 8 – 3 = 5
  • 5 – 3 = 2

20 modulo 5

  • 20 – 5 = 15
  • 15 – 5 = 10
  • 10 – 5 = 5
  • 5 – 5 = 0

Modulo: Definition, How it Works, and Real-Life Uses

– Guide Författat av Corin B. Arenas, publicerat den 24 oktober 2019

De flesta har inte hört talas om modulär aritmetik eller mod utanför matematikundervisningen.

Hursomhelst, om du någonsin har uppskattat lunch för 10 personer, och funnit att det finns mycket mat kvar, har du faktiskt att göra med ett mod-problem. Folk använder modulär aritmetik hela tiden, särskilt när det gäller allt som har med rester, tid och kalenderscheman att göra.

I det här avsnittet får du lära dig om modulo, dess grundläggande funktion och dess användningsområden i det verkliga livet.

Vad är modulo?

Skiva tårta

Modulär aritmetik, ibland kallad klockaritmetik, är en beräkning som involverar ett tal som återställer sig självt till noll varje gång ett heltal som är större än 1, som är mod, nås. Ett exempel på detta är den digitala 24-timmarsklockan, som återställer sig själv till 0 vid midnatt.

I matematiken är modulo återstoden eller det tal som återstår efter att ett tal dividerats med ett annat värde. Modulo kallas också för ”mod”.

Standardformatet för mod är:
a mod n
Där a är det värde som divideras med n.

Till exempel beräknar du 15 mod 4. När du dividerar 15 med 4 blir det en rest.
15 / 4 = 3,75

Istället för dess decimalform (0,75), när du använder mod-funktionen i en miniräknare, är resten ett heltal. I det här exemplet är 15 / 4 = resten 3, vilket också är 15 = (4 * 3) + 3. Så här räknar du ut det manuellt:

15 mod 4
15 – 4 = 11
11 – 4 = 7
7 – 4 = 3

Beräkning av mod med ett negativt tal

Professor som undervisar

Man skulle kunna anta att mod-funktionen genererar samma värden som positiva tal när ett tal är negativt. Detta är faktiskt inte fallet.

Till exempel, om du har 340 mod 60 är återstoden 40.
Men om du har -340 mod 60 är återstoden 20.

Varför händer detta? Mathforum.org förklarar att med ett positivt tal som 340 är den subtraherade multipeln mindre än det absoluta värdet, vilket resulterar i 40.

340 mod 60
340 – 60 = 280
280 – 60 = 220
220 – 60 = 160
160 – 60 = 100
100 – 60 = 40

Men med -340 subtraherar vi ett tal med ett större absolut värde, så funktionen mod genererar ett positivt värde. Den resulterande återstoden är också mindre jämfört med när båda talen är positiva.

Här är hur man löser mod med ett negativt tal:
a mod n är a/n = r (rest)
Därmed är a mod n = a – r * n

När vi matar in a/b i en miniräknare tar vi decimaldelen av det genererade värdet och avrundar det uppåt till nästa heltal. Låt oss göra det med exemplet nedan:

-340 mod 60
-340/60 = 5,6, när vi tar decimaldelen blir det heltalet -6
= -340 -(-6) * 60
= -340 -(-360)
= 20

För att hjälpa dig att visualisera visar tallinjen nedan skillnaden i värde.

Differens i värde

Vem skapade modulär aritmetik?

Kinesisk rulle

Enligt Britannica har begreppet modulär aritmetik använts av forntida civilisationer som indierna och kineserna. Ett exempel är den kinesiska boken Master Sun’s Mathematical Manual, som är från 300 e.Kr.

För övrigt användes modulär aritmetik för att lösa astronomiska och säsongsberäkningar som var problem i samband med naturliga och av människan skapade cykler.

Carl Friedrich Gauss och talteorin

Carl Gauss

I västerländsk matematik gjorde den tyske matematikern och fysikern Carl Friedrich Gauss den första systematiska studien av modulär aritmetik. Gauss anses vara en av de mest inflytelserika personerna inom den moderna matematiken.

I början av 20-årsåldern 1801 publicerade han Disquisitiones Arithmeticae, som lade grunden för dagens talteori och visade det första beviset för lagen om kvadratisk reciprocitet.

I talteorin analyserar forskare egenskaperna hos naturliga tal, som är hela tal som -1, -2, 0, 1, 2 och så vidare. Deras mål är att upptäcka oväntade matematiska mönster och interaktioner mellan naturliga tal.

Britannica noterar att i modulär aritmetik, där mod är N, är alla tal (0, 1, 2, …, N – 1,) kända som rester modulo N. Resterna adderas genom att man finner den aritmetiska summan av talen, och mod subtraheras från summan så många gånger som möjligt. Detta minskar summan till ett tal M, som ligger mellan 0 och N – 1.

I sin bok inkluderade Gauss en notation med symbolen ≡, som kan läsas som ”är kongruent med”. Istället för den vanliga symbolen = betyder de tre horisontella linjesegmenten både likhet och definition.

Om vi till exempel adderar summan av 2, 4, 3 och 7 är summan kongruent med 6 (mod 10). Det är 16 ≡ (mod 10). Det betyder att 16 dividerat med 10 ger en rest på 6. På samma sätt är 16 – 10 = 6.

Ett annat exempel, 13 ≡ 1 (mod 12). Detta innebär att 13 dividerat med 12 ger en rest på 1. På samma sätt är 13 – 12 = 1.

Vad är verkliga användningsområden för mod?

För praktiska tillämpningar är mod särskilt användbart för att hantera tid.

Då vi har 24 timmar på ett dygn är det vettigt att hänvisa till tid på ett 24-timmars sätt. Detta är principen bakom det militära tidssystemet, som börjar vid midnatt med 0000 timmar och slutar klockan 23:00 med 2300 timmar.

9 O'Clock

Istället för att säga 21:00 säger man 2100 timmar. Militären använder detta för att samordna med baser och annan personal som befinner sig i olika tidszoner. Dessutom använder alla piloter (kommersiella eller andra) 24-timmarsklockan för att undvika förvirring när de reser mellan olika tidszoner.

För att fastställa en standard använder piloter och militärer Greenwich Mean Time (GMT) som de också kallar Zulu Time (Z). När piloter till exempel rapporterar att ett flygplan kommer att nå en bas klockan 2100Z betyder det att det kommer att anlända klockan 21.00 GMT.

Hur har detta samband med modulo? För människor som vistas i en tidszon är det viktigare att skilja natt och dag åt, och därför används modulo i 12-timmars standardtid.

Istället för att säga 16:00 säger vi bara klockan 4. Den 12-timmars standardtiden använder mod 12 så att 1600 timmar blir klockan 4.

När vi gör möten är det allmänt känt att folk menar fyra på eftermiddagen. Om inget annat anges är ett möte klockan 4 på morgonen absurt,om du inte arbetar på natten och har onlinemöten med kunder från andra tidszoner.

Organisering av böcker, bankinformation och bostadslåneräntor

Kreditkort

Mod är användbart för att organisera stor information. Böcker spåras med hjälp av modulär aritmetik för att beräkna kontrollsummor för internationella standardboknummer (ISBN). År 2007 infördes ett 13-siffrigt ISBN-nummer (som tidigare var 10) för att hjälpa tillverkare att identifiera en stor mängd böcker.

Samma princip används också av banker för att identifiera fel i internationella bankkontonummer (IBAN) när de spårar transaktioner från andra länder.

När det gäller bostadslån används mod för att nollställa beräkningar för en ny period. Ett 5/6-justerbart hypotekslån (ARM) ställer till exempel om sina räntesatser med jämna mellanrum var sjätte månad. Mod används för att justera räntorna i enlighet med detta.

Kryptografi och datorgenererad konst

Modulär konst

Modulär aritmetik har andra tillämpningar inom kryptografi, konst och grafisk design.

I många år har konstnärer använt sig av matematiska former baserade på formler för att skapa mönster. I dag tillämpas samma koncept på datorgrafik, liksom på skulpturer och moderna målningar.

I kryptografi skrivs koder för att skydda hemliga uppgifter. Kryptografer använder mod i Diffie-HellmanKey Exchange när de upprättar SSL-anslutningar för att kryptera webbtrafik.

Kryptering är viktigt eftersom det gör det möjligt för användare att skydda information. Därför bör din personliga e-post, ditt kreditkortsnummer och andra personliga uppgifter krypteras när du skickar information på internet.

Slutsatsen

Mod är en matematisk funktion som gör att vi kan mäta återstoden i en summa. Vi använder detta grundläggande begrepp när vi talar om tid.

Begreppet modulär aritmetik har använts av gamla kineser och indier i århundraden. Men det introducerades i västerländsk matematik av den tyske vetenskapsmannen Carl Friedrich Gauss, som också utvecklade grunderna för talteorin.

I den verkliga världen används mod bland annat för att organisera ISBN- och bankinformation, för att ställa om ARM-kurser, för design av datorgrafik och för kryptografi som hjälper till att skydda privata uppgifter.

Om författaren

Corin är en ivrig forskare och författare av finansiella ämnen – hon studerar ekonomiska trender, hur de påverkar befolkningar samt hur man kan hjälpa konsumenter att fatta klokare ekonomiska beslut. Hennes andra artiklar kan läsas på Inquirer.net och Manileno.com. Hon har en masterexamen i kreativt skrivande från University of the Philippines, en av de bästa akademiska institutionerna i världen, och en kandidatexamen i kommunikationskunskap från Miriam College.

Divided Assets.

Lämna ett svar

Din e-postadress kommer inte publiceras.