Modulo Calculator.

Forme

Puteți vedea operațiile modulo asupra numerelor exprimate ca fiind oricare dintre următoarele

    .

  • a modulo n
  • a mod n (varianta prescurtată)

Exemple de probleme de matematică

17 modulo 3

  • 17 – 3 = 14
  • 14 – 3 = 11
  • 11 – 3 = 8
  • 8 – 3 = 5
  • 5 – 3 = 2

20 mod 5

  • 20 – 5 = 15
  • 15 – 5 = 10
  • 10 – 5 = 5
  • 5 – 5 = 0

Modul: Definition, How it Works, and Real-Life Uses

– Guide Authored by Corin B. Arenas, published on October 24, 2019

Majoritatea oamenilor nu au auzit de aritmetica modulară sau mod în afara orelor de matematică.

Cu toate acestea, dacă ați estimat vreodată prânzul pentru 10 persoane și ați constatat că a rămas multă mâncare, aveți de fapt de-a face cu o problemă de mod. Oamenii folosesc aritmetica modulară tot timpul, în special cu orice lucru care implică resturi, timp și programe calendaristice.

În această secțiune, veți învăța despre modulo, operația sa de bază și utilizările sale în viața reală.

Ce este modulo?

Față de tort

Aritmetica modulară, numită uneori aritmetica ceasului, este un calcul care implică un număr care se resetează la zero de fiecare dată când se atinge un număr întreg mai mare decât 1, care este modul. Un exemplu în acest sens este ceasul digital de 24 de ore, care se resetează la 0 la miezul nopții.

În matematică, modulo este restul sau numărul care rămâne după ce un număr este împărțit la o altă valoare. Modulo se mai numește și „mod”.

Formatul standard pentru mod este:
a mod n
Unde a este valoarea care este împărțită la n.

De exemplu, calculați 15 mod 4. Când împărțiți 15 la 4, există un rest.
15 / 4 = 3,75

În loc de forma sa zecimală (0,75), când folosiți funcția mod într-un calculator, restul este un număr întreg. Pentru acest exemplu, 15 / 4 = restul 3, care este, de asemenea, 15 = (4 * 3) + 3. Iată cum se calculează manual:

15 mod 4
15 – 4 = 11
11 – 4 = 7
7 – 4 = 3

Calculul lui Mod cu un număr negativ

Profesorul predă

Se poate presupune că funcția mod generează aceleași valori ca și numerele pozitive atunci când un număr este negativ. De fapt nu este așa.

De exemplu, dacă aveți 340 mod 60, restul este 40.
Dar dacă aveți -340 mod 60, restul este 20.

De ce se întâmplă acest lucru? Mathforum.org explică, cu un număr pozitiv precum 340, multiplul sustras este mai mic decât valoarea absolută, ceea ce rezultă 40.

340 mod 60
340 – 60 = 280
280 – 60 = 220
220 – 60 = 160
160 – 60 = 100
100 – 60 = 40

Dar cu -340, scădem un număr cu o valoare absolută mai mare, astfel că funcția mod generează o valoare pozitivă. Restul rezultat este, de asemenea, mai mic decât atunci când ambele numere sunt pozitive.

Iată cum se rezolvă mod cu un număr negativ:
a mod n este a/n = r (restul)
Deci, a mod n = a – r * n

Rețineți: Când introducem a/b într-un calculator, luăm partea zecimală a valorii generate și o rotunjim la următorul număr întreg. Să o facem cu exemplul de mai jos:

-340 mod 60
-340/60 = 5,6, când luăm partea zecimală, aceasta devine numărul întreg -6
= -340 -(-6) * 60
= -340 -(-360)
= 20

Pentru a vă ajuta să vizualizați, linia numerică de mai jos arată diferența de valoare.

Diferența de valoare

Cine a creat aritmetica modulară?

Mărțișor chinezesc

Potrivit Britannica, conceptul de aritmetică modulară a fost folosit de civilizații antice precum indienii și chinezii. Un exemplu este cartea chineză Master Sun’s Mathematical Manual, care datează din anul 300 d.Hr.

Mai mult, aritmetica modulară a fost folosită pentru a rezolva calculele astronomice și sezoniere, care erau probleme asociate cu ciclurile naturale și cele create de om.

Carl Friedrich Gauss și teoria numerelor

Carl Gauss

În matematica occidentală, matematicianul și fizicianul german Carl Friedrich Gaussa realizat primul studiu sistematic al aritmeticii modulare. Gauss este considerat una dintre cele mai influente figuri ale matematicii moderne.

La vârsta de 20 de ani, în 1801, a publicat Disquisitiones Arithmeticae, care a pus bazele teoriei numerelor de astăzi și a prezentat prima demonstrație a legii reciprocității pătratice.

În teoria numerelor, savanții analizează proprietățile numerelor naturale, care sunt numere întregi precum -1, -2, 0, 1, 2 și așa mai departe. Obiectivul este de a descoperi modele matematice neașteptate și interacțiuni neașteptateîntre numerele naturale.

Britannica notează că în aritmetica modulară, unde mod este N, toate numerele (0, 1, 2, …, N – 1,) sunt cunoscute sub numele de reziduuri modulo N. Reziduurile sunt adăugate prin găsirea sumei aritmetice a numerelor, iar mod se scade din sumă de cât mai multe ori posibil. Acest lucru diminuează suma până la un număr M, care este cuprins între 0 și N – 1.

În cartea sa, Gauss a inclus o notație cu simbolul ≡,care se citește ca „este congruent cu”. În loc de simbolul obișnuit =, cele trei segmente de dreaptă orizontale semnifică atât egalitatea, cât și definiția.

De exemplu, dacă adunăm suma lui 2, 4, 3 și 7, suma este congruentă cu 6 (mod 10). Adică 16 ≡ (mod 10). Aceasta înseamnă că 16 împărțit la 10 lasă un rest de 6. La fel, 16 – 10 = 6.

Un alt exemplu, 13 ≡ 1 (mod 12). Acest lucru înseamnă că 13 împărțit la 12 lasă un rest de 1. De asemenea, 13 – 12 = 1.

Ce utilizări ale lui Mod în lumea reală?

Pentru aplicații practice, mod este deosebit de util pentru a trata timpul.

Din moment ce avem 24 de ore într-o zi, are sens să ne referim la timp într-un mod de 24 de ore. Acesta este principiul care stă la baza sistemului de timp militar, care începe la miezul nopții cu ora 0000 și se termină la ora 11PM cu ora 2300.

9 O'Clock

În loc de a spune ora 21:00, se spune ora 2100. Militarii folosesc acest lucru pentru a se coordona cu bazele și cu alt personal aflat în zone orare indiferente. În plus, toți piloții (comerciali sau nu) folosesc ceasul de 24 de ore pentru a evita confuziile în timpul călătoriilor între fusurile orare.

Pentru a stabili un standard, piloții și militarii folosesc ora medie de la Greenwich (GMT), pe care o mai numesc și ora Zulu (Z). De exemplu, atunci când piloții raportează că un avion va ajunge la o bază la ora 2100Z, înseamnă că va ajunge la ora 21:00 GMT.

Cum se leagă acest lucru de modulo? Pentru persoanele care stau într-un singur fus orar, este mai important să se spună ora prin separarea nopții de zi. de aceea, ora standard de 12 ore folosește modulo.

În loc să spunem ora 1600, spunem doar ora 4. Ora standard de 12 ore folosește modul 12, astfel încât ora 1600 devine ora 4.

Când facem programări, se înțelege în general că oamenii se referă la ora 4 după-amiaza. Dacă nu se specifică altfel, o întâlnire la 4 dimineața este absurdă,cu excepția cazului în care lucrați noaptea și aveți întâlniri online cu clienți din alte fusuri orare.

Organizarea cărților, a informațiilor bancare și a ratelor la creditele pentru locuințe

Cărți de credit

Modul este util pentru organizarea informațiilor mari. Cărțile sunt urmărite folosind aritmetica modulară pentru a calcula sumele de control pentru numerele internaționale standard ale cărților (ISBN). În 2007, a fost introdus un sistem de numere ISBN din 13 cifre(care înainte era de 10) pentru a ajuta producătorii să identifice un volum mare de cărți.

Același principiu este, de asemenea, folosit de bănci pentru a identifica erorile de pe numerele internaționale de cont bancar (IBAN) atunci când urmăresc tranzacțiile dinalte țări.

Când vine vorba de creditele pentru locuințe, mod este folosit pentru a reseta calculele pentru o nouă perioadă. De exemplu, un credit ipotecar cu rată variabilă 5/6 (ARM) își resetează ratele dobânzii periodic la fiecare 6 luni. Mod este folosit pentru a ajusta ratele în mod corespunzător.

Criptografie și artă generată pe calculator

Artă modulară

Aritmetica modulară are și alte aplicații în domeniul criptografiei, al artei și al designului grafic.

De mulți ani, artiștii au folosit forme matematice bazate pe formule pentru a crea desene. Astăzi, același concept este aplicat la grafica pe calculator, precum și la sculpturi și picturi moderne.

În criptografie,se scriu coduri pentru a proteja datele secrete. Criptografii folosesc mod în schimbul de chei Diffie-HellmanKey Exchange în configurarea conexiunilor SSL pentru a cripta traficul web.

Criptarea este importantă pentru că permite utilizatorilor să protejeze informațiile. De aceea, e-mailurile personale, numărul cărții de credit și alte detalii personale ar trebui să fie criptate ori de câte ori trimiteți informații pe internet.

Sfârșitul

Modul este o funcție matematică care ne permite să măsurăm restul unei sume. Folosim acest concept fundamental ori de câte ori spunem timpul.

Conceptul de aritmetică modulară a fost folosit de vechii chinezi și indieni timp de secole. Dar a fost introdus în matematicile occidentale de către omul de știință german Carl Friedrich Gauss, care a dezvoltat, de asemenea, baza teoriei numerelor.

Utilizările din lumea reală pentru mod includ organizarea ISBN și a informațiilor bancare, resetarea ratelor ARM, proiectarea grafică pe calculator și criptografia care ajută la protejarea datelor private.

Despre autor

Corin este un cercetător și scriitor pasionat de subiecte financiare-studiază tendințele economice, modul în care acestea afectează populațiile, precum și modul în care să ajute consumatorii să ia decizii financiare mai înțelepte. Alte articole de fond ale ei pot fi citite pe Inquirer.net și Manileno.com. Ea deține un masterat în scriere creativă de la Universitatea din Filipine, una dintre cele mai bune instituții academice din lume, și o diplomă de licență în Arte ale comunicării de la Miriam College.

Activele împărțite.

.

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată.