Modulo Calculadora.

Formatos

Pode ver as operações do módulo em números expressos como um dos seguintes

  • um modulo n
  • um mod n (versão abreviada)

Problemas matemáticos por exemplo

17 modulo 3

  • 17 – 3 = 14
  • 14 – 3 = 11
  • 11 – 3 = 8
  • 8 – 3 = 5
  • 5 – 3 = 2

20 mod 5

  • 20 – 5 = 15
  • 15 – 5 = 10
  • 10 – 5 = 5
  • 5 – 5 = 0

Módulo: Definição, Como Funciona, e Usos da Vida Real

– Guia de Corin B. Arenas, publicado em 24 de outubro de 2019

A maioria das pessoas ainda não ouviu falar em aritmética modular ou mod fora da aula de matemática.

No entanto, se você já estimou o almoço para 10 pessoas, e descobriu que há muitos restos de comida, você está realmente lidando com um problema de mod. As pessoas usam aritmética modular o tempo todo, especialmente com qualquer coisa que envolva restos, horários e calendários.

Nesta seção, você aprenderá sobre modulo, seu funcionamento básico, e seus usos na vida real.

O que é o módulo?

Passo de bolo

Aritmética modular, às vezes chamada de aritmética de relógio, é um cálculo que envolve um número que se zera a cada vez que se atinge um número superior a 1, que é o modulo. Um exemplo disso é o relógio digital de 24 horas, que se reinicia a 0 à meia-noite.

Em matemática, o módulo é o restante ou o número que resta depois que um número é dividido por outro valor. O modulo também é referido como ‘mod.

O formato padrão do mod é:
a mod n
Onde a é o valor que é dividido por n.

Por exemplo, você está calculando 15 mod 4. Quando se divide 15 por 4, há um resto.
15 / 4 = 3.75

Em vez da sua forma decimal (0.75), quando se usa a função mod numa calculadora, o resto é um número inteiro. Para este exemplo, 15 / 4 = restante 3, que também é 15 = (4 * 3) + 3. Veja como calculá-lo manualmente:

15 mod 4
15 – 4 = 11
11 – 4 = 7
7 – 4 = 3

Calculando Mod com um Número Negativo

Aulas do professor

Uma pessoa pode presumir que a função mod gera os mesmos valores que os números positivos quando um número é negativo. Este não é realmente o caso.

Por exemplo, se você tem 340 mod 60, o restante é 40.
Mas se você tem -340 mod 60, o restante é 20.

Por que isto acontece? Mathforum.org explica, com um número positivo como 340, o múltiplo subtraído é menor que o valor absoluto, o que resulta em 40.

340 mod 60
340 – 60 = 280
280 – 60 = 220
220 – 60 = 160
160 – 60 = 100
100 – 60 = 40

Mas com -340, subtraímos um número com um valor absoluto maior, então a função mod gera um valor positivo. O restante resultante também é menor em comparação com quando ambos os números são positivos.

Sobre como resolver o mod com um número negativo:
a mod n é a/n = r (restante)
Portanto, a mod n = a – r * n

Nota: Quando introduzimos a/b numa calculadora, pegamos na parte decimal do valor gerado, e arredondamo-la para o próximo número inteiro. Vamos fazer isso com o exemplo abaixo:

-340 mod 60
-340/60 = 5.6, quando pegamos a parte decimal, ela se torna o inteiro -6
= -340 -(-6) * 60
= -340 -(-360)
= 20

Para ajudá-lo a visualizar, a linha de número abaixo mostra a diferença de valor.

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Diferença no valor

Quem criou a aritmética modular?

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Volução chinesa

>

De acordo com a Britânica, o conceito de aritmética modular tem sido usado por civilizações antigas como os indianos e chineses. Um exemplo é o livro chinês Master Sun’s Mathematical Manual, que data de 300 AD.

>A aritmética modular foi usada para resolver cálculos astronómicos e sazonais que eram problemas associados a ciclos naturais e artificiais.

Carl Friedrich Gauss e a Teoria dos Números

Carl Gauss

Em matemática ocidental, o matemático e físico alemão Carl Friedrich Gaussdid o primeiro estudo sistemático da aritmética modular. Gauss é considerado como uma das figuras mais influentes da matemática moderna.

No início dos seus 20 anos em 1801, ele publicou Disquisitiones Arithmeticae, que lançou as bases da teoria dos números de hoje e mostrou a primeira prova da lei da reciprocidade quadrática.

Na teoria dos números, os estudiosos analisam as propriedades dos números naturais, que são números inteiros como -1, -2, 0, 1, 2, e assim por diante. O objetivo é descobrir padrões matemáticos inesperados e interação entre números naturais.

Britannica observa que na aritmética modular, onde mod é N,todos os números (0, 1, 2, …, N – 1,) são conhecidos como resíduos modulo N. Os três lados são adicionados encontrando a soma aritmética dos números, e o mod é subtraído da soma o maior número de vezes possível. Isto diminui a soma para um número M, que está entre 0 e N – 1,

Em seu livro, Gauss incluiu uma notação com o símbolo ≡,que é lido como “é congruente a”. Em vez do habitual = símbolo, os segmentos de três linhas horizontais significam ambos igualdade e definição.

Por exemplo, se adicionarmos a soma de 2, 4, 3 e 7, a soma é congruente a 6 (mod 10). Isso é 16 ≡ (mod 10). Isto significa 16 dividido por 10 deixa um resto de 6. Da mesma forma, 16 – 10 = 6.

Outro exemplo, 13 ≡ 1 (mod 12). Isto significa 13 dividido por 12 deixa um remanescente de 1. Da mesma forma, 13 – 12 = 1.

O que é que o Mod?

Para aplicações práticas, o mod é especialmente útil para lidar com o tempo.

Desde que temos 24 horas num dia, faz sentido referirmo-nos ao tempo de forma 24 horas. Este é o princípio por detrás do sistema de tempo militar, começando à meia-noite com 0000 horas, e terminando a hora às 23 horas com 2300 horas.

9 O'Clock

Em vez de dizer 9 horas da noite, dizem 2100 horas. Os militares usam isto para coordenar com bases e outro pessoal localizado em fusos horários indiferentes. Além disso, todos os pilotos (comerciais ou não) usam o relógio de 24 horas para evitar confusão durante as viagens entre os fusos horários.

Para definir um padrão, os pilotos e os militares usam o Tempo Médio de Greenwich (GMT), que também chamam de hora Zulu (Z). Por exemplo, quando os pilotos informam que um avião chegará a uma base às 2100Z, significa que ele chegará às 21PM GMT.

Como é que isto está ligado ao modulo? Para as pessoas que ficam em um fuso horário, é mais importante dizer as horas separando noite e dia. É por isso que o tempo padrão de 12 horas usa o módulo.

Em vez de dizer 1600 horas, dizemos apenas 4 horas. O tempo padrão de 12 horas usa o modulo 12 para que 1600 horas se tornem 4 horas.

Quando fazemos compromissos, é geralmente entendido por pessoas -mean 4 à tarde. A menos que especificado o contrário, uma reunião às 4 da manhã é absurda, a menos que você trabalhe à noite e tenha reuniões on-line com clientes de outros fusos horários.

Livros de organização, informações bancárias e taxas de empréstimo imobiliário

Cartões de crédito

O mod é útil para organizar grandes informações. Os livros são rastreados usando a aritmética modular para calcular os checksums para números de livros padrão internacional (ISBN). Em 2007, um sistema de números ISBN de 13 dígitos (anteriormente 10) foi introduzido para ajudar os fabricantes a identificar um grande volume de livros.

O mesmo princípio também é usado pelos bancos para identificar erros nos números de contas bancárias internacionais (IBAN) quando eles rastreiam transações de outros países.

Quando se trata de empréstimos para habitação, o mod é usado para reiniciar os cálculos para um novo período. Por exemplo, uma hipoteca de taxa ajustável 5/6 (ARM) repõe suas taxas de juros periodicamente a cada 6 meses. Mod é usado para ajustar as taxas de acordo.

Cryptography and Computer-Generated Art

Modular art

Aritmética modular tem outras aplicações no campo da criptografia, arte e design gráfico.

Por muitos anos, os artistas têm usado formas matemáticas baseadas em fórmulas para criar designs. Hoje, o mesmo conceito é aplicado à computação gráfica, assim como a esculturas e pinturas modernas.

Na criptografia, os códigos são escritos para proteger dados secretos. Criptógrafos usam o mod no Diffie-HellmanKey Exchange na configuração de conexões SSL para criptografar o tráfego web.

A encriptação é importante porque permite aos utilizadores proteger a informação. É por isso que seus e-mails pessoais, número de cartão de crédito e outros dados pessoais devem ser criptografados sempre que você enviar informações na internet.

O resultado final

Mod é uma função matemática que nos permite medir o restante em uma soma. Usamos este conceito fundamental sempre que dizemos o tempo.

O conceito de aritmética modular tem sido usado pelos antigos chineses e índios durante séculos. Mas foi introduzido na Westernmathematics pelo cientista alemão Carl Friedrich Gauss, que também desenvolveu a base para a teoria dos números.

Os usos do mundo real para o mod incluem a organização do ISBN e informações bancárias, redefinição de taxas ARM, design de computação gráfica, e criptografia que ajuda a proteger dados privados.

Sobre o Autor

Corin é um ardente pesquisador e escritor de tópicos financeiros – estudando tendências econômicas, como elas afetam as populações, bem como como como ajudar os consumidores a tomar decisões financeiras mais sábias. Seus outros artigos podem ser lidos em Inquirer.net e Manileno.com. Ela tem mestrado em Escrita Criativa pela Universidade das Filipinas, uma das principais instituições acadêmicas do mundo, e um bacharelado em Artes da Comunicação pelo Miriam College.

Ativos divididos.

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