Kalkulator modulo.

Formaty

Możesz zobaczyć operacje modulo na liczbach wyrażone jako jedna z poniższych

    .

  • a modulo n
  • a mod n (wersja skrócona)

Przykładowe zadania matematyczne

17 modulo 3

  • 17 -. 3 = 14
  • 14 – 3 = 11
  • 11 – 3 = 8
  • 8 – 3 = 5
  • 5 – 3 = 2

20 mod 5

  • 20 -. 5 = 15
  • 15 – 5 = 10
  • 10 – 5 = 5
  • 5 – 5 = 0

Modulo: Definition, How it Works, and Real-Life Uses

– Guide Authored by Corin B. Arenas, published on October 24, 2019

Większość ludzi nie słyszała o arytmetyce modularnej lub mod poza klasą matematyczną.

Jednakże, jeśli kiedykolwiek oszacowałeś lunch dla 10 osób i odkryłeś, że pozostało dużo jedzenia, to w rzeczywistości masz do czynienia z problemem mod. Ludzie używają arytmetyki modularnej cały czas, szczególnie w przypadku czegokolwiek związanego z resztami, czasem i harmonogramami kalendarza.

W tym rozdziale dowiesz się o modulo, jego podstawowym działaniu, i jego zastosowaniach w prawdziwym życiu.

Co to jest modulo?

Slice of cake

Arytmetyka modułowa, czasami nazywana arytmetyką zegarową, jest obliczaniem, które obejmuje liczbę, która resetuje się do zera za każdym razem, gdy osiągana jest liczba większa od 1, która jest modem. Przykładem tego jest 24-godzinny zegar cyfrowy, który resetuje się do 0 o północy.

W matematyce, modulo jest resztą lub liczbą, która pozostaje po podzieleniu liczby przez inną wartość. Modulo jest również określane jako „mod.

Standardowy format dla mod to:
a mod n
Gdzie a jest wartością, która jest dzielona przez n.

Na przykład, obliczasz 15 mod 4. Kiedy dzielisz 15 przez 4, otrzymujesz resztę.
15 / 4 = 3.75

Zamiast postaci dziesiętnej (0.75), kiedy używasz funkcji mod w kalkulatorze, reszta jest liczbą całkowitą. W tym przykładzie, 15 / 4 = reszta 3, czyli również 15 = (4 * 3) + 3. Oto jak obliczyć to ręcznie:

15 mod 4
15 – 4 = 11
11 – 4 = 7
7 – 4 = 3

Obliczanie mod z liczbą ujemną

Profesor uczący

Można by przypuszczać, że funkcja mod generuje takie same wartości jak liczby dodatnie, gdy jedna z nich jest ujemna. W rzeczywistości tak nie jest.

Na przykład, jeśli masz 340 mod 60, reszta wynosi 40.
Ale jeśli masz -340 mod 60, reszta wynosi 20.

Dlaczego tak się dzieje? Mathforum.org wyjaśnia, że w przypadku liczby dodatniej, takiej jak 340, odejmowana wielokrotność jest mniejsza od wartości bezwzględnej, co daje 40.

340 mod 60
340 – 60 = 280
280 – 60 = 220
220 – 60 = 160
160 – 60 = 100
100 – 60 = 40

Ale w przypadku -340, odejmujemy liczbę o większej wartości bezwzględnej, więc funkcja mod generuje wartość dodatnią. Otrzymana reszta jest również mniejsza w porównaniu do sytuacji, gdy obie liczby są dodatnie.

Tutaj jak rozwiązać mod z liczbą ujemną:
a mod n to a/n = r (reszta)
Therefore, a mod n = a – r * n

Take note: When we input a/b in a calculator, we take the decimal part of the generated value, and round it up to the next integer. Zróbmy to na poniższym przykładzie:

-340 mod 60
-340/60 = 5.6, kiedy weźmiemy część dziesiętną, staje się to liczbą całkowitą -6
= -340 -(-6) * 60
= -340 -(-360)
= 20

Aby pomóc w wizualizacji, poniższa linia liczbowa pokazuje różnicę wartości.

Różnica wartości

Kto stworzył arytmetykę modułową?

Chiński zwój

Według Britannica, koncepcja arytmetyki modułowej była używana przez starożytne cywilizacje, takie jak Hindusi i Chińczycy. Przykładem jest chińska książka Master Sun’s Mathematical Manual, która pochodzi z 300 roku naszej ery.

Co więcej, arytmetyka modułowa była używana do rozwiązywania obliczeń astronomicznych i sezonowych, które były problemami związanymi z naturalnymi i stworzonymi przez człowieka cyklami.

Carl Friedrich Gauss and the Number Theory

Carl Gauss

W zachodniej matematyce, niemiecki matematyk i fizyk Carl Friedrich Gaussdokonał pierwszych systematycznych badań arytmetyki modułowej. Gauss jest uważany za jedną z najbardziej wpływowych postaci w nowoczesnej matematyce.

W wieku 20 lat, w 1801 roku, opublikował Disquisitiones Arithmeticae, które położyły podwaliny pod dzisiejszą teorię liczb i pokazały pierwszy dowód prawa wzajemności kwadratów.

W teorii liczb, uczeni analizują właściwości liczb naturalnych, które są liczbami całkowitymi takimi jak -1, -2, 0, 1, 2, i tak dalej. Theirobjective jest odkryć nieoczekiwane wzory matematyczne i interakcje między liczbami naturalnymi.

Britannica zauważa, że w arytmetyce modularnej, gdzie mod jest N, wszystkie liczby (0, 1, 2, …, N – 1,) są znane jako residua modulo N. Theresidues są dodawane przez znalezienie arytmetycznej sumy liczb, a mod issubtracted od sumy tyle razy, ile to możliwe. To zmniejsza sumę do liczby M, która jest pomiędzy 0 i N – 1.

W swojej książce, Gauss włączył zapis z symbolem ≡, który jest odczytywany jako „jest przystający do”. Zamiast zwykłego symbolu =, trzy poziome odcinki linii oznaczają zarówno równość, jak i definicję.

Na przykład, jeśli dodamy sumę 2, 4, 3 i 7, to suma jest przystająca do 6 (mod 10). To jest 16 ≡ (mod 10). Oznacza to, że 16 podzielone przez 10 pozostawia resztę 6. Podobnie, 16 – 10 = 6.

Inny przykład, 13 ≡ 1 (mod 12). Oznacza to, że 13 podzielone przez 12 pozostawia resztę 1. Podobnie, 13 – 12 = 1.

Jakie są zastosowania moda w świecie rzeczywistym?

W praktycznych zastosowaniach mod jest szczególnie przydatny w odniesieniu do czasu.

Ponieważ mamy 24 godziny w ciągu doby, ma sens odnoszenie się do czasu w sposób 24-godzinny. To jest zasada stojąca za wojskowym systemem czasu, zaczynającym się o północy od godziny 0000, a kończącym się o 2300.

9 O'Clock

Zamiast mówić 9 o’clock PM, mówią 2100 godzin. Wojsko używa tego do koordynacji z bazami i innym personelem znajdującym się w różnych strefach czasowych. Co więcej, wszyscy piloci (komercyjni lub inni) używają 24-godzinnego zegara, aby uniknąć zamieszania podczas podróży między strefami czasowymi.

Aby ustalić standard, piloci i wojsko używają Greenwich Mean Time (GMT), który nazywają również czasem Zulu (Z). Na przykład, gdy piloci informują, że samolot dotrze do bazy o 2100Z, oznacza to, że przybędzie o 9PM GMT.

Jak to jest związane z modulo? Dla ludzi przebywających w jednej strefie czasowej, ważniejsze jest odmierzanie czasu poprzez oddzielenie nocy od dnia, dlatego też 12-godzinny czas standardowy używa modulo.

Zamiast mówić 1600 godzin, mówimy po prostu 4 o’clock. Standardowy czas 12-godzinny używa mod 12 tak, że 1600 godzin staje się godziną czwartą.

Gdy umawiamy się na spotkania, jest ogólnie zrozumiałe, że ludzie mają na myśli 4 po południu. Jeśli nie określono inaczej, spotkanie o 4 rano jest absurdalne, chyba że pracujesz w nocy i masz spotkania online z klientami z innych stref czasowych.

Organizowanie książek, informacji bankowych i stawek kredytów mieszkaniowych

Karty kredytowe

Mod jest przydatny do organizowania dużych informacji. Książki są śledzone przy użyciu arytmetyki modułowej do obliczania sum kontrolnych dla międzynarodowych standardowych numerów książek (ISBN). W 2007 r. wprowadzono 13-cyfrowy system numerów ISBN (wcześniej było ich 10), aby ułatwić producentom identyfikację dużej ilości książek.

Ta sama zasada jest również używana przez banki do identyfikacji błędów w międzynarodowych numerach kont bankowych (IBAN), gdy śledzą transakcje z innych krajów.

Jeśli chodzi o kredyty mieszkaniowe, mod jest używany do resetowania obliczeń na nowy okres. Na przykład, kredyt hipoteczny o regulowanej stopie procentowej 5/6 (ARM) resetuje swoje stopy procentowe okresowo co 6 miesięcy. Mod jest używany do odpowiedniego dostosowania stóp.

Kryptografia i sztuka generowana komputerowo

Sztuka modułowa

Arytmetyka modułowa ma inne zastosowania w dziedzinie kryptografii, sztuki i projektowania graficznego.

Od wielu lat artyści używają kształtów matematycznych opartych na formułach do tworzenia projektów. Dziś ta sama koncepcja jest stosowana w grafice komputerowej, a także w rzeźbach i nowoczesnych obrazach.

W kryptografii, kody są pisane w celu ochrony tajnych danych. Kryptografowie używają modów w Diffie-HellmanKey Exchange w tworzeniu połączeń SSL do szyfrowania ruchu internetowego.

Szyfrowanie jest ważne, ponieważ pozwala użytkownikom zabezpieczyć informacje. Dlatego twoje osobiste e-maile, numer karty kredytowej i inne dane osobowe powinny być szyfrowane za każdym razem, gdy wysyłasz informacje w Internecie.

The Bottom Line

Mod jest funkcją matematyczną, która pozwala nam zmierzyć resztę w sumie. Używamy tego podstawowego pojęcia za każdym razem, gdy odmierzamy czas.

Koncepcja arytmetyki modułowej była używana przez starożytnych Chińczyków i Hindusów od wieków. Ale została wprowadzona do zachodniej matematyki przez niemieckiego naukowca Carla Friedricha Gaussa, który również opracował podstawy teorii liczb.

Real-world uses for mod include organizing ISBN and bank information, reseting ARM rates, computer graphics design, and cryptography which helps protect private data.

O autorze

Corin jest zapalonym badaczem i pisarzem tematów finansowych – bada trendy ekonomiczne, jak wpływają one na populacje, a także jak pomóc konsumentom w podejmowaniu mądrzejszych decyzji finansowych. Jej inne artykuły można przeczytać na Inquirer.net i Manileno.com. Posiada tytuł magistra w dziedzinie kreatywnego pisania z Uniwersytetu Filipin, jednej z najlepszych instytucji akademickich na świecie, oraz tytuł licencjata w dziedzinie sztuk komunikacyjnych z Miriam College.

Divided Assets.

.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany.