Modulo Rekenmachine.

Formats

Je ziet modulo operaties op getallen uitgedrukt als een van de volgende

  • a modulo n
  • a mod n (verkorte versie)

Voorbeeld wiskundeopgaven

17 modulo 3

  • 17 – 3 = 14
  • 14 – 3 = 11
  • 11 – 3 = 8
  • 8 – 3 = 5
  • 5 – 3 = 2

20 mod 5

  • 20 -. 5 = 15
  • 15 – 5 = 10
  • 10 – 5 = 5
  • 5 – 5 = 0

Modulo: Definition, How it Works, and Real-Life Uses

– Guide Authored by Corin B. Arenas, published on October 24, 2019

De meeste mensen hebben buiten de wiskundeles nog niet van modulair rekenen of mod gehoord.

Hoewel, als je ooit lunch voor 10 mensen hebt geschat, en hebt vastgesteld dat er veel eten overblijft, heb je eigenlijk te maken met een mod-probleem. Mensen gebruiken modulaire rekenkunde de hele tijd, vooral met alles wat met restjes, tijd en agenda’s te maken heeft.

In dit deel leer je over modulo, de basiswerking, en de toepassingen in het echte leven.

Wat is modulo?

Slice of cake

Modulaire rekenkunde, soms ook klokrekenkunde genoemd, is een berekening waarbij een getal zichzelf op nul terugzet telkens wanneer een geheel getal groter dan 1, dat de mod is, wordt bereikt. Een voorbeeld hiervan is de 24-uurs digitale klok, die zichzelf om middernacht op 0 terugzet.

In de wiskunde is de modulo de rest of het getal dat overblijft nadat een getal door een andere waarde is gedeeld. Modulo wordt ook aangeduid als “mod.

De standaardindeling voor mod is:
a mod n
Waarbij a de waarde is die wordt gedeeld door n.

Voorbeeld: je berekent 15 mod 4. Wanneer u 15 deelt door 4, blijft er een rest over.
15 / 4 = 3,75

In plaats van de decimale vorm (0,75), wanneer u de mod-functie in een rekenmachine gebruikt, is de rest een geheel getal. In dit voorbeeld is 15 / 4 = rest 3, dat is ook 15 = (4 * 3) + 3. Hier volgt hoe u het handmatig berekent:

15 mod 4
15 – 4 = 11
11 – 4 = 7
7 – 4 = 3

Reken mod met een negatief getal

Professor onderwijs

U zou kunnen veronderstellen dat de mod-functie dezelfde waarden genereert als positieve getallen wanneer één getal negatief is. Dit is in werkelijkheid niet het geval.

Bijv. als je 340 mod 60 hebt, is de rest 40.
Maar als je -340 mod 60 hebt, is de rest 20.

Waarom is dit het geval? Mathforum.org legt uit dat bij een positief getal als 340, het afgetrokken veelvoud kleiner is dan de absolute waarde, wat 40 oplevert.

340 mod 60
340 – 60 = 280
280 – 60 = 220
220 – 60 = 160
160 – 60 = 100
100 – 60 = 40

Maar met -340 trekken we een getal met een grotere absolute waarde af, zodat de mod-functie een positieve waarde genereert. De resulterende rest is ook kleiner dan wanneer beide getallen positief zijn.

Hier ziet u hoe u mod met een negatief getal oplost:
a mod n is a/n = r (rest)
Daarom geldt: a mod n = a – r * n

Let op: als we a/b in een rekenmachine invoeren, nemen we het decimale deel van de gegenereerde waarde, en ronden dat naar boven af op het volgende gehele getal. Laten we het met het onderstaande voorbeeld doen:

-340 mod 60
-340/60 = 5,6, als we het decimale deel nemen, wordt het het gehele getal -6
= -340 -(-6) * 60
= -340 -(-360)
= 20

Om u te helpen visualiseren, toont de getallenlijn hieronder het verschil in waarde.

Verschil in waarde

Wie creëerde modulaire rekenkunde?

Chinese rol

Volgens de Britannica werd het concept van modulaire rekenkunde gebruikt door oude beschavingen, zoals de Indianen en de Chinezen. Een voorbeeld is het Chinese boek Master Sun’s Mathematical Manual, dat dateert uit 300 AD.

Meer, modulaire rekenkunde werd gebruikt om astronomische en seizoensgebonden berekeningen op te lossen, welke problemen waren geassocieerd met natuurlijke en door de mens gemaakte cycli.

Carl Friedrich Gauss en de getaltheorie

Carl Gauss

In de westerse wiskunde verrichtte de Duitse wis- en natuurkundige Carl Friedrich Gauss de eerste systematische studie van de modulaire rekenkunde. Gauss wordt beschouwd als een van de meest invloedrijke figuren in de moderne wiskunde.

In zijn vroege twintiger jaren in 1801, publiceerde hij Disquisitiones Arithmeticae, die de basis legde voor de huidige getaltheorie en het eerste bewijs van de wet van kwadratische wederkerigheid toonde.

In de getaltheorie analyseren geleerden de eigenschappen van natuurlijke getallen, dat zijn gehele getallen zoals -1, -2, 0, 1, 2, enzovoort. Het doel is om onverwachte wiskundige patronen en interacties tussen natuurlijke getallen te ontdekken.

Britannica merkt op dat in modulaire rekenkunde, waar mod is N, alle getallen (0, 1, 2, …, N – 1,) bekend staan als residuen modulo N. De residuen worden opgeteld door de rekenkundige som van de getallen te vinden, en de mod wordt zo vaak mogelijk van de som afgetrokken. Dit vermindert de som tot een getal M, dat tussen 0 en N – 1 ligt.

In zijn boek heeft Gauss een notatie opgenomen met het symbool ≡, dat wordt gelezen als “is congruent met”. In plaats van het gebruikelijke =-symbool betekenen de driehorizontale lijnstukken zowel gelijkheid als definitie.

Als we bijvoorbeeld de som van 2, 4, 3 en 7 optellen, is de som congruent met 6 (mod 10). Dat is 16 ≡ (mod 10). Dit betekent dat 16 gedeeld door 10 een rest van 6 overlaat. Evenzo geldt dat 16 – 10 = 6.

Nog een voorbeeld, 13 ≡ 1 (mod 12). Dit betekent dat 13 gedeeld door 12 een rest geeft van 1. Zo ook 13 – 12 = 1.

Wat zijn Real-World toepassingen voor Mod?

Voor praktische toepassingen is mod vooral handig voor het omgaan met tijd.

Sinds we 24 uur in een dag hebben, is het zinvol om naar tijd te verwijzen op een 24-uurs manier. Dit is het principe achter het militaire tijdsysteem, dat om middernacht begint met 0000 uur, en om 23.00 uur eindigt met 23.00 uur.

9 O'Clock

In plaats van 9 uur ’s avonds zeggen ze 2100 uur. Themilitairen gebruiken dit om te coördineren met bases en ander personeel dat zich in verschillende tijdzones bevindt. Bovendien gebruiken alle piloten (commercieel of anderszins) de 24-uurs klok om verwarring te voorkomen tijdens het reizen tussen tijdzones.

Om een norm te stellen, gebruiken piloten en het leger de Greenwich Mean Time (GMT) die zij ook wel Zulu tijd (Z) noemen. Bijvoorbeeld, wanneer piloten melden dat een vliegtuig een basis zal bereiken om 2100Z, betekent dit dat het zal aankomen om 9PM GMT.

Hoe is dit verbonden met modulo? Voor mensen die in één tijdzone verblijven, is het belangrijker de tijd aan te geven door dag en nacht van elkaar te scheiden. Daarom maakt de 12-uurs standaardtijd gebruik van modulo.

In plaats van 1600 uur te zeggen, zeggen we gewoon 4 uur. De 12-uurs standaardtijd gebruikt modulo 12, zodat 1600 uur 4 uur wordt.

Als we afspraken maken, bedoelen mensen meestal 4 uur ’s middags. Tenzij anders aangegeven, is een afspraak om 4 uur ’s ochtends absurd, tenzij je ’s nachts werkt en online afspraken hebt met klanten uit andere tijdzones.

Organiseren van boeken, bankinformatie en woningkredietrentes

Credit cards

Mod is handig voor het organiseren van grote informatie. Boeken worden bijgehouden met behulp van modulaire rekenkunde om checksums te berekenen voor internationale standaardboeknummers (ISBN). In 2007 is een ISBN-nummer van 13 cijfers (voorheen 10) ingevoerd om fabrikanten te helpen een groot aantal boeken te identificeren.

Hetzelfde principe wordt ook gebruikt door banken om fouten te identificeren opinternationale bankrekeningnummers (IBAN) wanneer zij transacties uit andere landen volgen.

Wanneer het gaat om woningkredieten, wordt mod gebruikt om berekeningen opnieuw in te stellen voor een nieuwe periode. Bijvoorbeeld, een 5/6 verstelbare rente hypotheek (ARM) herziet de rente periodiek om de 6 maanden. Mod wordt gebruikt om de tarieven dienovereenkomstig aan te passen.

Cryptografie en computergegenereerde kunst

Modulaire kunst

Modulaire rekenkunde heeft andere toepassingen op het gebied van cryptografie, kunst en grafisch ontwerp.

Sinds vele jaren gebruiken kunstenaars wiskundige vormen op basis van formules om ontwerpen te maken. Tegenwoordig wordt hetzelfde concept toegepast op computergraphics, maar ook op beeldhouwwerken en moderne schilderijen.

In de cryptografie worden codes geschreven om geheime gegevens te beschermen. Cryptografen gebruiken mod in de Diffie-HellmanKey Exchange bij het opzetten van SSL-verbindingen om webverkeer te versleutelen.

Encryptie is belangrijk omdat het gebruikers in staat stelt informatie te beveiligen. Daarom moeten uw persoonlijke e-mails, creditcardnummer en andere persoonlijke gegevens worden gecodeerd wanneer u informatie over het internet verstuurt.

The Bottom Line

Mod is een wiskundige functie die ons in staat stelt de rest in een som te meten. We gebruiken dit fundamentele concept wanneer we de tijd vertellen.

Het concept van modulaire rekenkunde wordt al eeuwenlang gebruikt door de oude Chinezen en Indiërs. Maar het werd geïntroduceerd in de westerse wiskunde door de Duitse wetenschapper Carl Friedrich Gauss, die ook ontwikkelde de basis voor de getaltheorie.

Rechte wereld toepassingen voor mod omvatten het organiseren van ISBN en bankgegevens, het resetten van ARM tarieven, computer graphics design, en cryptografie die helpt beschermen prive-gegevens.

Over de auteur

Corin is een fervent onderzoeker en schrijver van financiële onderwerpen-het bestuderen van economische trends, hoe ze van invloed zijn op de bevolking, maar ook hoe consumenten te helpen verstandigere financiële beslissingen te nemen. Haar andere hoofdartikelen zijn te lezen op Inquirer.net en Manileno.com. Zij heeft een Master in Creatief Schrijven van de Universiteit van de Filippijnen, een van de beste academische instellingen ter wereld, en een Bachelor in Communicatiewetenschappen van het Miriam College.

Verdeelde bezittingen.

Geef een antwoord

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd.