形式
あなたは、次のいずれかとして表された数字上のモジュロ演算を見ることができます
- 。
- a modulo n
- a mod n（略）
数学の問題例
17 modulo 3
- 17 -。 3 = 14
- 14 – 3 = 11
- 11 – 3 = 8
- 8 – 3 = 5
- 5 – 3 = 2
20 mod 5
- 20 -。 5 = 15
- 15 – 5 = 10
- 10 – 5 = 5
- 5 – 5 = 0
Modulo: 定義、仕組み、実際の使用法
-ガイド 執筆者：Corin B. Arenas、公開日：2019年10月24日
ほとんどの人は数学の授業以外でモジュール演算またはmodを聞いたことがないでしょう。
しかし、10 人分のランチを見積もったことがあり、食べ物がたくさん残っていることがわかったら、実は mod の問題に対処していることになります。 特に余りや時間、カレンダーのスケジュールを含むものでは、人々は常にモジュラー演算を使用しています。
このセクションでは、モジュロについて、その基本的な操作と実際の生活での使用について学びます。
モジュロとは
モジュラ演算は、時計演算と呼ばれることもあり、モジュロである1より大きい整数値に到達するたびに自身を0にリセットする数を含む計算です。 数学では、モジュロとは、ある数値を別の数値で割った後に残る余り、またはその数値のことである。 モデューロは「mod」とも呼ばれる。
modの標準的な形式は次のとおりです：
a mod n
ここでaはnで割った値です。
たとえば、15 mod 4を計算しているとします。
15 / 4 = 3.75
電卓でmod関数を使うと、余りは小数点以下（0.75）ではなく、整数で表示されます。 この例では、15 / 4 = 余り 3 となり、15 = (4 * 3) + 3 となります。 以下は手動での計算方法です。
15 mod 4
15 – 4 = 11
11 – 4 = 7
7 – 4 = 3
負の数でmodを計算する
ある数が負のときmod関数が正の数と同じ値を生成すると仮定するかもしれない。
たとえば、340 mod 60 の場合、余りは 40 です。
しかし、-340 mod 60 の場合、余りは 20 です。
なぜこのようになるのでしょうか。 Mathforum.orgの説明では、340のような正の数では、引かれた倍数が絶対値より小さいので、40になるのだそうです。
340 mod 60
340 – 60 = 280
280 – 60 = 220
220 – 60 = 160
160 – 60 = 100
100 – 60 = 40
しかし-340では、より大きな絶対値の数を引くため、mod関数が正の値を発生させます。 その結果、余りも両方の数字が正のときと比べて小さくなります。
負の数のmodの解き方ですが、
a mod nはa/n = r（余り）
したがって、a mod n = a – r * n
注意点としては、電卓でa/bを入力すると、発生した値の小数部分を取り、次の整数に切り上げることです。 下の例でやってみましょう。
-340 mod 60
-340/60 = 5.6, 小数部を取ると、整数 -6
= -340 -(-6) * 60
= -340 -(-360)
= 20
イメージしやすく、下の数直線は値の差を表しています。
Who Created Modular Arithmetic?
Britannicaによると、モジュラー算の概念はインドや中国などの古代文明で使われてきたそうです。 その例として、西暦300年にさかのぼる中国の書籍『孫師傅算法書』がある。
さらに、モジュラー算法は、自然および人工のサイクルに関連する問題である天文および季節の計算を解くために使用された。
Carl Friedrich Gauss and the Number Theory
西洋数学では、ドイツの数学者、物理学者カール-フリードリヒ-ガウスはモジュラー演算の最初の体系的な研究を行った。 ガウスは、近代数学で最も影響力のある人物の一人とみなされている。
1801年に20代前半で、彼は今日の数論の基礎を築き、二次相互作用の法則の最初の証明を示したDisquisitiones Arithmeticaeを公開しました。
整数論では、学者たちは自然数（-1、-2、0、1、2などの整数）の性質を分析する。 その目的は、予期しない数学的パターンや自然数間の相互作用を発見することである。
ブリタニカによると、モジュラー算術では、modをNとしたとき、すべての数（0、1、2、…、N – 1、）はNのモジュロ残差として知られています。 これは0とN – 1の間にある数Mに和を減少させる。
ガウスは彼の本の中で、”に合同である “と読み取られる記号≡を持つ表記法を含んでいます。 通常の=記号の代わりに、3つの水平線分は、両方の等しさと定義を意味する。
例えば、2、4、3、7の和を足すと、和は6（mod 10）と合同になります。 それが16≡(mod 10)です。 つまり、16を10で割ると余りが6になります。 同様に、16-10＝6です。
別の例として、13 ≡ 1 (mod 12)。 同様に、13 – 12 = 1です。
Modの実際の使用法は？
実用的には、modは時間を扱うのに特に役立ちます。
1日は24時間なので、時間を24時間単位で表すことは理にかなっています。 これは軍事時間の原則で、午前0時を0000時間として始まり、午後11時を2300時間として終わります。
午後9時という代わりに、2100時間と言う。 軍隊はこれを、時間帯の異なる基地や他の職員と調整するために使用しています。 さらに、すべてのパイロット（民間であろうとなかろうと）は、タイムゾーン間の移動中の混乱を避けるために、24時間制を採用しています。
基準を設定するために、パイロットや軍隊はグリニッジ標準時（GMT）を使用しており、彼らはズールー時間（Z）とも呼んでいます。 例えば、パイロットが飛行機が2100Zに基地に到着すると報告するとき、それはGMTの午後9時に到着することを意味します。
モジュロとはどのような関係があるのですか？ 1つのタイムゾーンに滞在する人々にとっては、昼と夜を分けて時間を伝えることの方が重要です。このため、12時間標準時ではモジュロを使用しています。
1600時と言わず、4時と言えばいいのです。 12時間標準時はmod 12を使うので、1600時間が4時になるのです。
私たちがアポイントメントを取るとき、それは一般的に人々が午後の4時を意味すると理解されています。 特に指定がない限り、午前 4 時のミーティングは、夜間に働いていて、他のタイムゾーンのクライアントとオンラインでミーティングをする場合を除き、不合理です。 書籍の追跡は、国際標準図書番号（ISBN）のチェックサムを計算するためにモジュール演算を使用しています。 2007年、大量の書籍を製造するメーカーが識別しやすくするために、13桁のISBN番号（従来は10桁）システムが導入された。
同じ原理は、銀行が他の国からの取引を追跡する際に、国際銀行口座番号（IBAN）のエラーを識別するためにも使用されます。
住宅ローンに関しては、新しい期間の計算をリセットするためにmodが使用されています。 例えば、5/6金利調整型住宅ローン（ARM）は、6ヶ月ごとに定期的に金利がリセットされます。 Mod は、それに応じて金利を調整するために使用されます。
Cryptography and Computer-Generated Art
モジュラー演算は、暗号、アート、グラフィックス デザインの分野にも応用されています。 現在では、彫刻や近代絵画だけでなく、コンピュータグラフィックスにも同じコンセプトが適用されています。
暗号技術では、秘密のデータを保護するためにコードが書かれる。 暗号技術者は、Webトラフィックを暗号化するためにSSL接続を設定する際に、ディフィー-ヘルマン鍵交換のmodを使用します。
暗号化は、ユーザーが情報を保護することを可能にするので、重要です。 そのため、個人的な電子メール、クレジットカード番号、およびその他の個人情報は、インターネット上で情報を送信するときは常に暗号化する必要があります。
The Bottom Line
Mod は、合計における余りを測定できる数学的関数です。 私たちは、時間を伝えるときはいつもこの基本的な概念を使用しています。
モジュラー算術の概念は、何世紀も前から古代中国やインドで使われてきた。
現実の世界では、ISBNや銀行情報の整理、ARMレートのリセット、コンピューターグラフィックス設計、個人データの保護に役立つ暗号技術などが、modの使用例として挙げられる。
