Modulo Calculator.

Formati

Si possono vedere operazioni modulo su numeri espressi come uno dei seguenti

  • a modulo n
  • a mod n (versione abbreviata)

Problemi di matematica di esempio

17 modulo 3

  • 17 – 3 = 14
  • 14 – 3 = 11
  • 11 – 3 = 8
  • 8 – 3 = 5
  • 5 – 3 = 2

20 mod 5

  • 20 – 5 = 15
  • 15 – 5 = 10
  • 10 – 5 = 5
  • 5 – 5 = 0

Modulo: Definizione, come funziona e usi della vita reale

– Guida Autorizzata da Corin B. Arenas, pubblicata il 24 ottobre 2019

La maggior parte delle persone non ha sentito parlare di aritmetica modulare o mod al di fuori delle lezioni di matematica.

Tuttavia, se hai mai stimato il pranzo per 10 persone, e hai scoperto che c’è un sacco di cibo avanzato, hai effettivamente a che fare con un problema mod. La gente usa l’aritmetica modulare tutto il tempo, specialmente con tutto ciò che riguarda i resti, il tempo e gli orari del calendario.

In questa sezione, imparerete il modulo, il suo funzionamento di base e i suoi usi nella vita reale.

Che cos’è il modulo?

Fetta di torta

L’aritmetica modulare, talvolta chiamata aritmetica dell’orologio, è un calcolo che coinvolge un numero che si azzera ogni volta che viene raggiunto un numero intero maggiore di 1, che è il mod. Un esempio di questo è l’orologio digitale di 24 ore, che si azzera a mezzanotte.

In matematica, il modulo è il resto o il numero che rimane dopo che un numero viene diviso per un altro valore. Il modulo è anche indicato come “mod.

Il formato standard per mod è:
a mod n
dove a è il valore che viene diviso per n.

Per esempio, stai calcolando 15 mod 4. Quando si divide 15 per 4, c’è un resto.
15 / 4 = 3,75

Invece della sua forma decimale (0,75), quando si usa la funzione mod in una calcolatrice, il resto è un numero intero. Per questo esempio, 15 / 4 = resto 3, che è anche 15 = (4 * 3) + 3. Ecco come calcolarlo manualmente:

15 mod 4
15 – 4 = 11
11 – 4 = 7
7 – 4 = 3

Calcolo mod con un numero negativo

Professore che insegna

Si potrebbe presumere che la funzione mod generi gli stessi valori dei numeri positivi quando un numero è negativo. In realtà non è così.

Per esempio, se avete 340 mod 60, il resto è 40.
Ma se avete -340 mod 60, il resto è 20.

Perché succede questo? Mathforum.org spiega che con un numero positivo come 340, il multiplo sottratto è inferiore al valore assoluto, che risulta in 40.

340 mod 60
340 – 60 = 280
280 – 60 = 220
220 – 60 = 160
160 – 60 = 100
100 – 60 = 40

Ma con -340, sottraiamo un numero con un valore assoluto maggiore, quindi la funzione mod genera un valore positivo. Il resto risultante è anche più piccolo rispetto a quando entrambi i numeri sono positivi.

Ecco come risolvere il mod con un numero negativo:
a mod n è a/n = r (resto)
Quindi, a mod n = a – r * n

Prendete nota: quando inseriamo a/b in una calcolatrice, prendiamo la parte decimale del valore generato e la arrotondiamo al numero intero successivo. Facciamolo con l’esempio qui sotto:

-340 mod 60
-340/60 = 5,6, quando prendiamo la parte decimale, diventa l’intero -6
= -340 -(-6) * 60
= -340 -(-360)
= 20

Per aiutarti a visualizzare, la linea dei numeri qui sotto mostra la differenza di valore.

Differenza di valore

Chi ha creato l’aritmetica modulare?

Rullo cinese

Secondo Britannica, il concetto di aritmetica modulare è stato usato da antiche civiltà come gli indiani e i cinesi. Un esempio è il libro cinese Master Sun’s Mathematical Manual, che risale al 300 d.C.

Inoltre, l’aritmetica modulare è stata usata per risolvere i calcoli astronomici e stagionali che erano problemi associati ai cicli naturali e artificiali.

Carl Friedrich Gauss e la teoria dei numeri

Carl Gauss

Nella matematica occidentale, il matematico e fisico tedesco Carl Friedrich Gauss fece il primo studio sistematico dell’aritmetica modulare. Gauss è considerato una delle figure più influenti della matematica moderna.

Nei suoi vent’anni, nel 1801, pubblicò Disquisitiones Arithmeticae, che gettò le basi per l’odierna teoria dei numeri e mostrò la prima dimostrazione della legge di reciprocità quadratica.

Nella teoria dei numeri, gli studiosi analizzano le proprietà dei numeri naturali, che sono numeri interi come -1, -2, 0, 1, 2 e così via. L’obiettivo è quello di scoprire modelli matematici inaspettati e interazioni tra i numeri naturali.

Britannica nota che nell’aritmetica modulare, dove mod è N, tutti i numeri (0, 1, 2, …, N – 1,) sono noti come residui modulo N. I residui sono aggiunti trovando la somma aritmetica dei numeri, e il mod è sottratto dalla somma quante più volte possibile. Questo diminuisce la somma a un numero M, che è tra 0 e N – 1.

Nel suo libro, Gauss ha incluso una notazione con il simbolo ≡, che è letto come “è congruente a”. Invece del solito simbolo =, i tre segmenti di linea orizzontali significano sia uguaglianza che definizione.

Per esempio, se sommiamo la somma di 2, 4, 3 e 7, la somma è congruente a 6 (mod 10). Questo è 16 ≡ (mod 10). Questo significa che 16 diviso per 10 lascia un resto di 6. Allo stesso modo, 16 – 10 = 6.

Un altro esempio, 13 ≡ 1 (mod 12). Questo significa che 13 diviso per 12 lascia un resto di 1. Allo stesso modo, 13 – 12 = 1.

Quali sono gli usi del mondo reale per il mod?

Per le applicazioni pratiche, il mod è particolarmente utile per trattare con il tempo.

Siccome abbiamo 24 ore in un giorno, ha senso riferirsi al tempo in modo 24 ore. Questo è il principio alla base del sistema di tempo militare, che inizia a mezzanotte con le 0000 ore e termina alle 11PM con le 2300 ore.

9 O'Clock

Invece di dire 9 o’clock PM, si dice 2100 ore. I militari lo usano per coordinarsi con le basi e altro personale situato in fusi orari indifferenti. Inoltre, tutti i piloti (commerciali e non) usano l’orologio a 24 ore per evitare confusione durante i viaggi tra i fusi orari.

Per fissare uno standard, i piloti e i militari usano il Greenwich Mean Time (GMT) che chiamano anche Zulu time (Z). Per esempio, quando i piloti riferiscono che un aereo raggiungerà una base alle 2100Z, significa che arriverà alle 9PM GMT.

Come si collega questo con il modulo? Per le persone che stanno in un fuso orario, è più importante dire il tempo separando la notte e il giorno, ecco perché l’ora standard di 12 ore usa il modulo.

Invece di dire 1600 ore, diciamo semplicemente le 4. Il tempo standard di 12 ore usa il mod 12 in modo che 1600 ore diventano le 4.

Quando prendiamo appuntamenti, è generalmente inteso che la gente intende le 4 del pomeriggio. A meno che non sia specificato altrimenti, un incontro alle 4 del mattino è assurdo, a meno che non lavoriate di notte e abbiate incontri online con clienti di altri fusi orari.

Organizzazione di libri, informazioni bancarie e tassi di prestito per abitazioni

Carte di credito

Il mod è utile per organizzare grandi informazioni. I libri sono tracciati usando l’aritmetica modulare per calcolare i checksum per i numeri di libri standard internazionali (ISBN). Nel 2007, è stato introdotto un sistema di numeri ISBN a 13 cifre (che prima erano 10) per aiutare i produttori a identificare un grande volume di libri.

Lo stesso principio è anche usato dalle banche per identificare gli errori sui numeri di conto bancario internazionale (IBAN) quando tracciano le transazioni da altri paesi.

Quando si tratta di prestiti immobiliari, il mod è usato per resettare i calcoli per un nuovo periodo. Per esempio, un mutuo a tasso variabile 5/6 (ARM) azzera i suoi tassi di interesse periodicamente ogni 6 mesi. Mod è usato per aggiustare i tassi di conseguenza.

Crittografia e arte generata dal computer

Arte modulare

L’aritmetica modulare ha altre applicazioni nel campo della crittografia, arte e design grafico.

Per molti anni, gli artisti hanno usato forme matematiche basate su formule per creare disegni. Oggi, lo stesso concetto è applicato alla computer grafica, così come alle sculture e ai dipinti moderni.

Nella crittografia, i codici sono scritti per proteggere i dati segreti. I crittografi usano il mod nel Diffie-HellmanKey Exchange nella creazione di connessioni SSL per criptare il traffico web.

La crittografia è importante perché permette agli utenti di salvaguardare le informazioni. Ecco perché le tue e-mail personali, il numero di carta di credito e altri dettagli personali dovrebbero essere criptati ogni volta che invii informazioni su internet.

Il fondo della questione

Mod è una funzione matematica che ci permette di misurare il resto di una somma. Usiamo questo concetto fondamentale ogni volta che diciamo il tempo.

Il concetto di aritmetica modulare è stato usato dagli antichi cinesi e dagli indiani per secoli. Ma è stato introdotto nella matematica occidentale dallo scienziato tedesco Carl Friedrich Gauss, che ha anche sviluppato le basi della teoria dei numeri.

Gli usi nel mondo reale della mod includono l’organizzazione di informazioni ISBN e bancarie, l’azzeramento dei tassi ARM, la progettazione della grafica del computer e la crittografia che aiuta a proteggere i dati privati.

Informazioni sull’autore

Corin è un’ardente ricercatrice e scrittrice di argomenti finanziari, che studia le tendenze economiche, come influenzano le popolazioni e come aiutare i consumatori a prendere decisioni finanziarie più sagge. I suoi altri articoli possono essere letti su Inquirer.net e Manileno.com. Ha conseguito un master in scrittura creativa presso l’Università delle Filippine, una delle migliori istituzioni accademiche del mondo, e una laurea in arti della comunicazione presso il Miriam College.

Attività divise.

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