Modulo Calculator.

Formátumok

A számokkal végzett modulo műveleteket az alábbiak valamelyikében kifejezve láthatjuk

    .

  • a modulo n
  • a mod n (rövidített változat)

Példa matematikai feladatokra

17 modulo 3

  • 17 – 3 = 14
  • 14 – 3 = 11
  • 11 – 3 = 8
  • 8 – 3 = 5
  • 5 – 3 = 2

20 mod 5

  • 20 – 5 = 15
  • 15 – 5 = 10
  • 10 – 5 = 5
  • 5 – 5 = 0

Modulo: Arenas Szerző: Corin B. Arenas, közzétéve: 2019. október 24.

A legtöbb ember még nem hallott a moduláris aritmetikáról vagy a modról a matematikaórán kívül.

Ha azonban valaha is becsültél már ebédet 10 embernek, és azt tapasztaltad, hogy rengeteg étel maradt, akkor valójában egy mod-problémával van dolgod. Az emberek állandóan használják a moduláris aritmetikát, különösen minden olyan dologban, ami maradékokkal, idővel és naptári beosztással kapcsolatos.

Ebben a részben megismerkedhetsz a modulóval, annak alapvető műveleteivel és a valós életben való felhasználásával.

Mi a modulo?

Szelet torta

A moduláris aritmetika, amelyet néha óraaritmetikának is neveznek, olyan számítás, amely egy olyan számot tartalmaz, amely minden alkalommal nullára állítja magát, amikor elér egy 1-nél nagyobb egész számot, amely a mod. Erre példa a 24 órás digitális óra, amely éjfélkor 0-ra állítja vissza magát.

A matematikában a modulo a maradék vagy az a szám, amely megmarad, miután egy számot elosztunk egy másik értékkel. A modulót ‘mod’ néven is emlegetik.

A mod szabványos formátuma:
a mod n
ahol a az az érték, amelyet elosztunk n-nel.

Például 15 mod 4-et számolunk. Amikor 15-öt elosztod 4-gyel, maradvány keletkezik.
15 / 4 = 3,75

A tizedes alakja (0,75) helyett, amikor a mod funkciót használod a számológépben, a maradék egész szám. Ebben a példában 15 / 4 = 3 maradék, ami egyben 15 = (4 * 3) + 3. Íme a kézi számítás:

15 mod 4
15 – 4 = 11
11 – 4 = 7
7 – 4 = 3

Mod számítása negatív számmal

Professzor tanítása

Az ember azt feltételezheti, hogy a mod függvény ugyanazokat az értékeket adja, mint a pozitív számok, ha az egyik szám negatív. Valójában ez nem így van.

Ha például 340 mod 60, akkor a maradék 40.
De ha -340 mod 60, akkor a maradék 20.

Miért van ez így? A Mathforum.org elmagyarázza, hogy egy olyan pozitív számnál, mint a 340, a kivont többszörös kisebb, mint az abszolút érték, ami 40-et eredményez.

340 mod 60
340 – 60 = 280
280 – 60 = 220
220 – 60 = 160
160 – 60 = 100
100 – 60 = 40

De a -340 esetében egy nagyobb abszolút értékű számot vonunk ki, így a mod függvény pozitív értéket eredményez. Az így kapott maradék is kisebb, mint amikor mindkét szám pozitív.

Íme, hogyan oldjuk meg a mod függvényt negatív számmal:
a mod n az a/n = r (maradék)
Ezért a mod n = a – r * n

Figyelem: Amikor a/b-t írunk be egy számológépbe, akkor a keletkező érték tizedes részét vesszük, és a következő egész számra kerekítjük fel. Végezzük el az alábbi példával:

-340 mod 60
-340/60 = 5,6, ha a tizedes részt vesszük, akkor -6
= -340 -(-6) * 60
= -340 -(-360)
= 20

Az alábbi számsor az ábrázolás megkönnyítésére mutatja az értékkülönbséget.

értékkülönbség

Ki alkotta meg a moduláris aritmetikát?

Kínai tekercs

A Britannica szerint a moduláris aritmetika fogalmát már olyan ősi civilizációk is használták, mint az indiaiak és a kínaiak. Erre példa a kínai Sun mester matematikai kézikönyve, amely Kr. u. 300-ból származik.

A moduláris aritmetikát emellett a csillagászati és évszakos számítások megoldására is használták, amelyek a természeti és az ember alkotta ciklusokkal kapcsolatos problémák voltak.

Carl Friedrich Gauss és a számelmélet

Carl Gauss

A nyugati matematikában Carl Friedrich Gauss német matematikus és fizikus végezte el a moduláris aritmetika első szisztematikus vizsgálatát. Gauss-t a modern matematika egyik legnagyobb hatású alakjának tartják.

Húszéves korában, 1801-ben publikálta a Disquisitiones Arithmeticae-t, amely megalapozta a mai számelméletet, és megmutatta a kvadratikus reciprocitás törvényének első bizonyítását.

A számelméletben a tudósok a természetes számok tulajdonságait elemzik, amelyek olyan egész számok, mint a -1, -2, 0, 1, 2 stb. Céljuk, hogy váratlan matematikai mintákat és kölcsönhatásokat fedezzenek fel a természetes számok között.

A Britannica megjegyzi, hogy a moduláris aritmetikában, ahol a mod N, az összes számot (0, 1, 2, …, …, N – 1,) modulo N maradékoknak nevezik. A maradékokat a számok számtani összegének megkeresésével adják össze, és a mod-ot annyiszor vonják ki az összegből, ahányszor csak lehetséges. Ez csökkenti az összeget egy M számra, amely 0 és N – 1 között van.

Gauss a könyvében a ≡ szimbólummal ellátott jelölést használta, amely úgy olvasható, hogy “kongruens”. A szokásos = szimbólum helyett a három vízszintes vonalszakasz egyszerre jelzi az egyenlőséget és a definíciót.

Ha például összeadjuk a 2, 4, 3 és 7 összegét, akkor az összeg kongruens a 6-tal (mod 10). Ez 16 ≡ (mod 10). Ez azt jelenti, hogy 16 osztva 10-zel marad 6. Hasonlóképpen, 16 – 10 = 6.

Egy másik példa: 13 ≡ 1 (mod 12). Ez azt jelenti, hogy 13 osztva 12-vel 1 maradványt hagy. Hasonlóképpen, 13 – 12 = 1.

Milyen valós felhasználásai vannak a modnak?

A gyakorlati alkalmazásokban a mod különösen hasznos az idő kezelésében.

Mivel 24 óránk van egy napban, van értelme az időre 24 órában hivatkozni. Ez az alapelve a katonai időszámításnak, amely éjfélkor 0000 órával kezdődik, és 23 órakor 2300 órával ér véget.

9 O'Clock

Ahelyett, hogy este 9 órát mondanának, 2100 órát mondanak. A katonaság ezt használja, hogy koordináljon a bázisokkal és más, különböző időzónákban tartózkodó személyzettel. Ezenkívül minden pilóta (kereskedelmi és egyéb) a 24 órás órát használja, hogy elkerülje a zavart az időzónák közötti utazás során.

A szabványosítás érdekében a pilóták és a katonaság a greenwichi középidőt (GMT) használja, amelyet zulu időnek (Z) is neveznek. Amikor például a pilóták azt jelentik, hogy egy repülőgép 2100Z-kor ér el egy bázist, az azt jelenti, hogy 21:00 GMT-kor fog megérkezni.

Hogyan függ ez össze a modulóval? Az egy időzónában tartózkodó emberek számára fontosabb, hogy az időt az éjszaka és a nappal szétválasztásával állapítsák meg, ezért a 12 órás normaidő modulót használ.

Ahelyett, hogy 1600 órát mondanánk, egyszerűen azt mondjuk, hogy 4 óra. A 12 órás standard idő a modo 12-t használja, így 1600 órából 4 óra lesz.

Amikor időpontot egyeztetünk, az emberek általában délután 4 órára gondolnak. Hacsak nincs másképp meghatározva, a hajnali 4 órai találkozó abszurd,hacsak nem dolgozik éjszaka, és nem tart online találkozókat más időzónából érkező ügyfelekkel.

Könyvek, banki információk és lakáshitel-kamatlábak rendszerezése

Hitelkártyák

A mod hasznos a nagy mennyiségű információ rendszerezéséhez. A könyvek nyomon követése moduláris aritmetikával történik a nemzetközi szabványos könyvszámok (ISBN) ellenőrző összegének kiszámításához. 2007-ben bevezették a 13 jegyű ISBN-számrendszert (amely korábban 10 jegyű volt), hogy a gyártóknak segítsen a nagy mennyiségű könyvek azonosításában.

A bankok ugyanezt az elvet használják a nemzetközi bankszámlaszámok (IBAN) hibáinak azonosítására, amikor más országokból érkező tranzakciókat követnek nyomon.

A lakáshitelek esetében a mod-ot a számítások új időszakra történő visszaállítására használják. Például egy 5/6-os állítható kamatozású jelzáloghitel (ARM) kamatlábait 6 havonta rendszeresen visszaállítja. A modot a kamatlábak megfelelő kiigazítására használják.

Kriptográfia és számítógéppel generált művészet

Moduláris művészet

A moduláris aritmetikának más alkalmazásai is vannak a kriptográfia, a művészet és a grafikai tervezés területén.

A művészek sok éve használnak képleteken alapuló matematikai alakzatokat a tervek létrehozásához. Ma ugyanezt a koncepciót alkalmazzák a számítógépes grafikában, valamint a szobrokban és a modern festményekben.

A kriptográfiában kódokat írnak a titkos adatok védelmére. A kriptográfusok a Diffie-HellmanKey Exchange modot használják az SSL-kapcsolatok létrehozásakor a webes forgalom titkosítására.

A titkosítás azért fontos, mert lehetővé teszi a felhasználók számára az információk védelmét. Ezért a személyes e-maileket, a hitelkártyaszámot és más személyes adatokat titkosítani kell, amikor információkat küldünk az interneten.

A lényeg

A mod egy matematikai függvény, amely lehetővé teszi számunkra, hogy megmérjük egy összegben a maradékot. Ezt az alapvető fogalmat használjuk, amikor az időt megmondjuk.

A moduláris aritmetika fogalmát már évszázadok óta használják az ősi kínaiak és az indiaiak. A nyugati matematikába azonban Carl Friedrich Gauss német tudós vezette be, aki a számelmélet alapját is kidolgozta.

A mod valós világbeli felhasználásai közé tartozik az ISBN és a banki információk rendszerezése, az ARM-ráták visszaállítása, a számítógépes grafikai tervezés és a kriptográfia, amely segít a személyes adatok védelmében.

A szerzőről

Corin pénzügyi témák lelkes kutatója és írója – tanulmányozza a gazdasági trendeket, azt, hogy ezek hogyan hatnak a lakosságra, valamint azt, hogy hogyan segíthet a fogyasztóknak bölcsebb pénzügyi döntéseket hozni. További szakcikkei az Inquirer.net és a Manileno.com oldalakon olvashatók. A világ egyik legjobb egyetemi intézményében, a Fülöp-szigeteki Egyetemen szerzett mesterdiplomát kreatív írásból, a Miriam College-ban pedig kommunikációs művészetekből szerzett alapdiplomát.

Elosztott vagyon.

Vélemény, hozzászólás?

Az e-mail-címet nem tesszük közzé.