Calculateur modulo.

Formats

Vous pouvez voir des opérations modulo sur des nombres exprimés sous l’une des formes suivantes

    .

  • a modulo n
  • a mod n (version abrégée)

Exemple de problèmes mathématiques

17 modulo 3

  • 17 -. 3 = 14
  • 14 – 3 = 11
  • 11 – 3 = 8
  • 8 – 3 = 5
  • 5 – 3 = 2

20 modulo 5

  • 20 – 5 = 15
  • 15 – 5 = 10
  • 10 – 5 = 5
  • 5 – 5 = 0

Modulo : Définition, fonctionnement et utilisations dans la vie réelle

– Guide Rédigé par Corin B. Arenas, publié le 24 octobre 2019

La plupart des gens n’ont pas entendu parler de l’arithmétique modulaire ou mod en dehors des cours de mathématiques.

Pourtant, si vous avez déjà estimé un déjeuner pour 10 personnes, et constaté qu’il y a beaucoup de restes de nourriture, vous avez en fait affaire à un problème de mod. Les gens utilisent l’arithmétique modulaire tout le temps, en particulier avec tout ce qui implique les restes, le temps et les calendriers.

Dans cette section, vous apprendrez ce qu’est le modulo, son fonctionnement de base, et ses utilisations dans la vie réelle.

Qu’est-ce que le modulo ?

Partie de gâteau

L’arithmétique modulaire, parfois appelée arithmétique de l’horloge, est un calcul qui implique un nombre qui se remet à zéro chaque fois qu’un nombre entier supérieur à 1, qui est le mod, est atteint. Un exemple de ceci est l’horloge numérique de 24 heures, qui se remet à zéro à minuit.

En mathématiques, le modulo est le reste ou le nombre qui reste après qu’un nombre est divisé par une autre valeur. Le modulo est également désigné par le terme « mod ».

Le format standard pour le modulo est :
a mod n
où a est la valeur qui est divisée par n.

Par exemple, vous calculez 15 mod 4. Lorsque vous divisez 15 par 4, il y a un reste.
15 / 4 = 3,75

Au lieu de sa forme décimale (0,75), lorsque vous utilisez la fonction mod dans une calculatrice, le reste est un nombre entier. Dans cet exemple, 15 / 4 = reste 3, qui est aussi 15 = (4 * 3) + 3. Voici comment le calculer manuellement :

15 mod 4
15 – 4 = 11
11 – 4 = 7
7 – 4 = 3

Calculer le mod avec un nombre négatif

Professeur enseignant

On pourrait présumer que la fonction mod génère les mêmes valeurs que les nombres positifs lorsqu’un nombre est négatif. Ce n’est en fait pas le cas.

Par exemple, si vous avez 340 mod 60, le reste est 40.
Mais si vous avez -340 mod 60, le reste est 20.

Pourquoi cela se produit-il ? Mathforum.org explique, avec un nombre positif comme 340, le multiple soustrait est inférieur à la valeur absolue, ce qui donne 40.

340 mod 60
340 – 60 = 280
280 – 60 = 220
220 – 60 = 160
160 – 60 = 100
100 – 60 = 40

Mais avec -340, on soustrait un nombre avec une valeur absolue plus grande, donc la fonction mod génère une valeur positive. Le reste résultant est également plus petit par rapport au cas où les deux nombres sont positifs.

Voici comment résoudre mod avec un nombre négatif :
a mod n est a/n = r (reste)
Donc, a mod n = a – r * n

Prenez note : lorsque nous entrons a/b dans une calculatrice, nous prenons la partie décimale de la valeur générée, et nous l’arrondissons à l’entier supérieur. Faisons-le avec l’exemple ci-dessous :

-340 mod 60
-340/60 = 5,6, lorsque nous prenons la partie décimale, cela devient l’entier -6
= -340 -(-6) * 60
= -340 -(-360)
= 20

Pour vous aider à visualiser, la ligne numérique ci-dessous montre la différence de valeur.

Différence de valeur

Qui a créé l’arithmétique modulaire?

Rouleau chinois

Selon Britannica, le concept d’arithmétique modulaire a été utilisé par des civilisations anciennes comme les Indiens et les Chinois. Un exemple est le livre chinois Master Sun’s Mathematical Manual, qui date de 300 après JC.

De plus, l’arithmétique modulaire a été utilisée pour résoudre les calculs astronomiques et saisonniers qui étaient des problèmes associés aux cycles naturels et artificiels.

Carl Friedrich Gauss et la théorie des nombres

Carl Gauss

En mathématiques occidentales, le mathématicien et physicien allemand Carl Friedrich Gaussa réalisé la première étude systématique de l’arithmétique modulaire. Gauss est considéré comme l’une des figures les plus influentes des mathématiques modernes.

Au début de sa vingtaine, en 1801, il a publié Disquisitiones Arithmeticae, qui a jeté les bases de la théorie des nombres d’aujourd’hui et a montré la première preuve de la loi de réciprocité quadratique.

Dans la théorie des nombres, les savants analysent les propriétés des nombres naturels, qui sont des nombres entiers comme -1, -2, 0, 1, 2, et ainsi de suite. Leirobjectif est de découvrir des modèles mathématiques inattendus et des interactionsentre les nombres naturels.

Britannica note que dans l’arithmétique modulaire, où mod est N,tous les nombres (0, 1, 2, …, N – 1,) sont connus comme des résidus modulo N. Les résidus sont ajoutés en trouvant la somme arithmétique des nombres, et le mod est soustrait de la somme autant de fois que possible. Cela diminue la somme à un nombre M, qui est entre 0 et N – 1.

Dans son livre, Gauss a inclus une notation avec le symbole ≡,qui se lit comme « est congru à ». Au lieu du symbole = habituel, les trois segments de lignehorizontaux signifient à la fois l’égalité et la définition.

Par exemple, si on ajoute la somme de 2, 4, 3 et 7, la somme est congruente à 6 (mod 10). Cela donne 16 ≡ (mod 10). Cela signifie que 16 divisé par 10 laisse un reste de 6. De même, 16 – 10 = 6.

Autre exemple, 13 ≡ 1 (mod 12). Cela signifie que 13 divisé par 12 laisse un reste de 1. De même, 13 – 12 = 1.

Quelles sont les utilisations du mod dans le monde réel ?

Pour les applications pratiques, le mod est particulièrement utile pour traiter le temps.

Puisque nous avons 24 heures dans une journée, il est logique de se référer au temps de manière 24 heures. C’est le principe du système d’heure militaire, commençant à minuit avec 0000 heures, et finissant l’heure à 11PM avec 2300 heures.

9 O'Clock

Au lieu de dire 9 heures du soir, ils disent 2100 heures. Les militaires utilisent cela pour se coordonner avec les bases et autres personnels situés dans des fuseaux horaires indifférents. De plus, tous les pilotes (commerciaux ou non) utilisent l’horloge de 24 heures pour éviter toute confusion lors des déplacements entre les fuseaux horaires.

Pour établir une norme, les pilotes et les militaires utilisent le temps moyen de Greenwich (GMT) qu’ils appellent aussi le temps Zulu (Z). Par exemple, lorsque les pilotes signalent qu’un avion atteindra une base à 2100Z, cela signifie qu’il arrivera à 21 heures GMT.

Comment cela est-il lié au modulo ? Pour les personnes qui restent dans un seul fuseau horaire, il est plus important de donner l’heure en séparant la nuit et le jour.C’est pourquoi l’heure standard de 12 heures utilise le modulo.

Au lieu de dire 1600 heures, on dit simplement 4 heures. L’heure standard de 12 heures utilise le modulo 12 pour que 1600 heures deviennent 4 heures.

Lorsque nous prenons des rendez-vous, il est généralement entendu que les gens veulent dire 4 heures de l’après-midi. Sauf indication contraire, une réunion à 4 heures du matin est absurde,à moins que vous ne travailliez de nuit et que vous ayez des réunions en ligne avec des clients d’autres fuseaux horaires.

Organiser des livres, des informations bancaires et des taux de prêts immobiliers

Cartes de crédit

Le mod est utile pour organiser de grandes informations. Les livres sont suivis à l’aide de l’arithmétique modulaire pour calculer les sommes de contrôle pour les numéros internationaux de livres standard (ISBN). En 2007, un système de numéros ISBN à 13 chiffres(qui était auparavant de 10) a été introduit pour aider les fabricants à identifier un grand volume de livres.

Le même principe est également utilisé par les banques pour identifier les erreurs sur les numéros de compte bancaire internationaux (IBAN) lorsqu’elles suivent les transactions provenant d’autres pays.

En matière de prêts immobiliers, le mod est utilisé pour réinitialiser les calculs pour une nouvelle période. Par exemple, une hypothèque à taux ajustable (ARM) 5/6 réinitialise ses taux d’intérêt périodiquement tous les 6 mois. Mod est utilisé pour ajuster les taux en conséquence.

Cryptographie et art généré par ordinateur

Art modulaire

L’arithmétique modulaire a d’autres applications dans le domaine de la cryptographie, de l’art et de la conception graphique.

Depuis de nombreuses années, les artistes utilisent des formes mathématiques basées sur des formules pour créer des dessins. Aujourd’hui, le même concept est appliqué aux infographies, ainsi qu’aux sculptures et aux peintures modernes.

En cryptographie,des codes sont écrits pour protéger des données secrètes. Les cryptographes utilisent le mod dans l’échange de clés Diffie-Hellman dans la mise en place de connexions SSL pour crypter le trafic web.

Le cryptage est important car il permet aux utilisateurs de sauvegarder des informations. C’est pourquoi vos courriels personnels, votre numéro de carte de crédit et d’autres détails personnels devraient être cryptés chaque fois que vous envoyez des informations sur Internet.

The Bottom Line

Mod est une fonction mathématique qui nous permet de mesurer le reste d’une somme. Nous utilisons ce concept fondamental chaque fois que nous donnons l’heure.

Le concept d’arithmétique modulaire est utilisé par les anciensChinois et Indiens depuis des siècles. Mais il a été introduit dans les mathématiques occidentales par le scientifique allemand Carl Friedrich Gauss, qui a également développé la base de la théorie des nombres.

Les utilisations du monde réel pour le mod incluent l’organisation de l’ISBN et des informations bancaires, la réinitialisation des taux ARM, la conception d’infographie et la cryptographie qui aide à protéger les données privées.

À propos de l’auteur

Corin est une ardente chercheuse et rédactrice de sujets financiers – elle étudie les tendances économiques, la façon dont elles affectent les populations, ainsi que la façon d’aider les consommateurs à prendre des décisions financières plus sages. Ses autres articles de fond peuvent être lus sur Inquirer.net et Manileno.com. Elle est titulaire d’un master en écriture créative de l’Université des Philippines, l’un des meilleurs établissements universitaires au monde, et d’une licence en arts de la communication du Miriam College.

Actifs divisés.

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