Modulo Calculator.

Muodot

Lukujen modulo-operaatiot saatetaan ilmaista jommallakummalla seuraavista tavoista

    .

  • a modulo n
  • a mod n (lyhennetty versio)

Esimerkkejä matemaattisista ongelmista

17 modulo 3

  • 17 – 3 = 14
  • 14 – 3 = 11
  • 11 – 3 = 8
  • 8 – 3 = 5
  • 5 – 3 = 2

20 mod 5

  • 20 – – 5 = 15
  • 15 – 5 = 10
  • 10 – 5 = 5
  • 5 – 5 = 0

Modulo: Kirjoittanut Corin B. Arenas, julkaistu 24. lokakuuta 2019

Vähemmistö ihmisistä ei ole kuullut modulaarisesta aritmetiikasta tai modista matematiikan luokan ulkopuolella.

Mutta jos olet joskus arvioinut lounaan 10 ihmiselle ja huomannut, että ruokaa jää paljon yli, olet itse asiassa tekemisissä mod-ongelman kanssa. Ihmiset käyttävät modulaarista aritmetiikkaa koko ajan, erityisesti kaikessa missä on kyse jäännöksistä, ajasta ja kalenteriaikatauluista.

Tässä osiossa opit modulosta, sen perustoiminnoista ja sen käytöstä tosielämässä.

Mitä on modulo?

Kakkuviipale

Modulaarinen aritmetiikka, jota joskus kutsutaan myös kelloaritmetiikaksi, on laskutoimitus, jossa käytetään lukua, joka nollaa itsensä joka kerta, kun saavutetaan kokonaisluku, joka on suurempi kuin 1, eli mod. Esimerkkinä tästä on 24-tuntinen digitaalikello, joka nollaa itsensä nollaan keskiyöllä.

Matematiikassa modulo on jäännös tai luku, joka jää jäljelle, kun luku jaetaan toisella arvolla. Modulosta käytetään myös nimitystä ’mod’.

Vakiomuoto modolle on:
a mod n
Jossa a on arvo, joka jaetaan n:llä.

Lasketaan esimerkiksi 15 mod 4. Kun jaat 15:n luvulla 4, jäljelle jää jäännös.
15 / 4 = 3,75

Käytettäessä mod-funktiota laskimessa sen desimaalimuodon (0,75) sijaan jäännös on kokonaisluku. Tässä esimerkissä 15 / 4 = jäännös 3, joka on myös 15 = (4 * 3) + 3. Näin se lasketaan käsin:

15 mod 4
15 – 4 = 11
11 – 4 = 7
7 – 4 = 3

Mod-funktion laskeminen negatiivisella luvulla

Professorin opetus

Voidaan olettaa, että mod-funktio tuottaa samat arvot kuin positiiviset luvut, kun yksi luku on negatiivinen. Näin ei todellisuudessa ole.

Esimerkiksi, jos on 340 mod 60, jäännös on 40.
Mutta jos on -340 mod 60, jäännös on 20.

Miksi näin tapahtuu? Mathforum.org selittää, että positiivisella luvulla, kuten 340, vähennetty monikerta on pienempi kuin absoluuttinen arvo, jolloin tulokseksi tulee 40.

340 mod 60
340 – 60 = 280
280 – 60 = 220
220 – 60 = 160
160 – 60 = 100
100 – 60 = 40

Mutta kun kyseessä on -340, vähennämme luvun, jonka absoluuttinen arvo on suurempi, joten mod-funktio tuottaa positiivisen arvon. Näin saatu jäännös on myös pienempi verrattuna siihen, että molemmat luvut ovat positiivisia.

Näin ratkaistaan mod negatiivisella luvulla:
a mod n on a/n = r (jäännös)
Siten a mod n = a – r * n

Huomaa: Kun syötämme a/b:n laskimeen, otamme tuotetun arvon desimaaliosan ja pyöristämme sen ylöspäin seuraavaan kokonaislukuun. Tehdään se alla olevalla esimerkillä:

-340 mod 60
-340/60 = 5,6, kun otamme desimaaliosan, siitä tulee kokonaisluku -6
= -340 -(-6) * 60
= -340 -(-360)
= 20

Havainnollistamisen helpottamiseksi alla oleva numeroviiva näyttää arvon eron.

arvoero

Kuka loi modulaarisen aritmetiikan?

Kiinalainen käärö

Britannican mukaan modulaarisen aritmetiikan käsitettä ovat käyttäneet muinaiset sivilisaatiot, kuten intiaanit ja kiinalaiset. Esimerkkinä voidaan mainita kiinalainen kirja Master Sun’s Mathematical Manual, joka on peräisin vuodelta 300 jKr.

Lisäksi modulaarista aritmetiikkaa käytettiin ratkaisemaan tähtitieteellisiä ja vuodenaikojen laskutoimituksia, jotka olivat luonnollisiin ja ihmisen tekemiin sykleihin liittyviä ongelmia.

Carl Friedrich Gauss ja lukuteoria

Carl Gauss

Länsimaisessa matematiikassa saksalainen matemaatikko ja fyysikko Carl Friedrich Gauss teki ensimmäisen systemaattisen tutkimuksen modulaarisesta aritmetiikasta. Gaussia pidetään yhtenä modernin matematiikan vaikutusvaltaisimmista henkilöistä.

Vuonna 1801 hän julkaisi parikymppisenä Disquisitiones Arithmeticae -kirjan, joka loi pohjan nykyiselle lukuteorialle ja esitti ensimmäisen todistuksen kvadraattisen vastavuoroisuuden laista.

Lukuteoriassa tutkijat analysoivat luonnollisten lukujen ominaisuuksia, jotka ovat kokonaislukuja kuten -1, -2, 0, 1, 2 ja niin edelleen. Tavoitteena on löytää odottamattomia matemaattisia kuvioita ja vuorovaikutuksia luonnollisten lukujen välillä.

Britannica toteaa, että modulaarisessa aritmetiikassa, jossa mod on N,kaikki luvut (0, 1, 2, …, N – 1,) tunnetaan jäännöksinä modulo N. Jäännökset lasketaan yhteen etsimällä lukujen aritmeettinen summa, ja mod vähennetään summasta niin monta kertaa kuin mahdollista. Tämä vähentää summan lukuun M, joka on 0:n ja N – 1:n välillä.

Gauss käytti kirjassaan merkintää, jossa on symboli ≡, joka tarkoittaa ”on yhteneväinen”. Tavanomaisen =-symbolin sijasta kolme vaakasuoraa viivasegmenttiä merkitsevät sekä tasa-arvoa että määritelmää.

Jos esimerkiksi laskemme yhteen summat 2, 4, 3 ja 7, summa on yhteneväinen 6:n kanssa (mod 10). Se on 16 ≡ (mod 10). Tämä tarkoittaa, että 16 jaettuna 10:llä jää jäljelle 6. Samoin 16 – 10 = 6.

Toinen esimerkki, 13 ≡ 1 (mod 12). Tämä tarkoittaa, että 13 jaettuna 12:lla jättää jäännökseksi 1. Samoin 13 – 12 = 1.

Mitä reaalimaailman käyttötapoja modilla on?

Käytännön sovelluksissa mod on erityisen hyödyllinen käsiteltäessä aikaa.

Koska vuorokaudessa on 24 tuntia, on järkevää viitata kellonaikaan vuorokauden tarkkuudella. Tämä on sotilasaikajärjestelmän periaate, joka alkaa keskiyöllä kello 0000 ja päättyy kello 23.00 kello 23.00.

9 O'Clock

Sen sijaan, että sanottaisiin kello 21.00, sanotaan kello 2100. Themilitary käyttää tätä koordinoidakseen tukikohtien ja muun henkilöstön kanssa, jotka sijaitsevat eri aikavyöhykkeillä. Lisäksi kaikki lentäjät (liikelentäjät ja muut) käyttävät 24 tunnin kelloa välttääkseen sekaannukset matkustaessaan aikavyöhykkeiden välillä.

Normin asettamiseksi lentäjät ja armeija käyttävät Greenwichin keskiaikaa (GMT), jota he kutsuvat myös zuluaikaksi (Z). Kun lentäjät esimerkiksi ilmoittavat, että lentokone saapuu tukikohtaan klo 2100Z, se tarkoittaa, että se saapuu klo 21.00 GMT.

Miten tämä liittyy moduuliin? Yhdellä aikavyöhykkeellä asuville ihmisille on tärkeämpää kertoa aika erottamalla yö ja päivä toisistaan. 12-tuntisessa standardiajassa käytetään siksi moduloa.

Sen sijaan, että sanoisimme kello 16.00, sanomme vain kello 16.00. 12-tuntinen standardiaika käyttää modo 12:ta niin, että kello 1600:sta tulee kello 4.

Kun sovimme tapaamisia, yleensä ymmärretään, että ihmiset tarkoittavat kello 4 iltapäivällä. Ellei toisin mainita, tapaaminen kello 4 aamulla on järjetön,ellet työskentele yöllä ja pidä verkkotapaamisia muiden aikavyöhykkeiden asiakkaiden kanssa.

Kirjojen, pankkitietojen ja asuntolainojen korkojen järjestäminen

Luottokortit

Mod on käyttökelpoinen suurten tietojen järjestämiseen. Kirjojen seurannassa käytetään modulaarista aritmetiikkaa kansainvälisten standardikirjanumeroiden (ISBN) tarkistussummien laskemiseen. Vuonna 2007 otettiin käyttöön 13-numeroinen ISBN-numerojärjestelmä (joka oli aiemmin 10-numeroinen), joka auttaa valmistajia tunnistamaan suuren kirjamäärän.

Pankit käyttävät samaa periaatetta myös kansainvälisten pankkitilinumeroiden (IBAN) virheiden tunnistamiseen, kun ne seuraavat muista maista tulevia tilitapahtumia.

Asuntolainojen kohdalla modia käytetään laskelmien nollaamiseen uutta ajanjaksoa varten. Esimerkiksi 5/6-säädettäväkorkoisessa asuntolainassa (ARM) korot nollataan määräajoin kuuden kuukauden välein. Modia käytetään korkojen mukauttamiseen vastaavasti.

Kryptografia ja tietokoneella luotu taide

Modulaarinen taide

Modulaarisella aritmetiikalla on muitakin sovelluksia kryptografian, taiteen ja graafisen suunnittelun alalla.

Taiteilijat ovat käyttäneet matemaattisia kaavoihin pohjautuvia muotoja muotoilujen luomiseksi jo vuosia. Nykyään samaa käsitettä sovelletaan tietokonegrafiikkaan sekä veistoksiin ja moderneihin maalauksiin.

Kryptografiassa kirjoitetaan koodeja salaisen tiedon suojaamiseksi. Kryptografit käyttävät modia Diffie-HellmanKey Exchange -menetelmässä SSL-yhteyksien muodostamisessa verkkoliikenteen salaamiseksi.

Salaus on tärkeää, koska sen avulla käyttäjät voivat suojata tietoja. Siksi henkilökohtaiset sähköpostisi, luottokorttinumerosi ja muut henkilökohtaiset tietosi tulisi salata aina, kun lähetät tietoja internetissä.

Lopputulos

Mod on matemaattinen funktio, jonka avulla voimme mitata summan jäännöstä. Käytämme tätä peruskäsitettä aina, kun kerromme aikaa.

Modulaarisen aritmetiikan käsitettä ovat käyttäneet muinaiset kiinalaiset ja intiaanit vuosisatojen ajan. Länsimaiseen matematiikkaan sen toi kuitenkin saksalainen tiedemies Carl Friedrich Gauss, joka kehitti myös numeroteorian perustan.

Modin reaalimaailman käyttökohteita ovat muun muassa ISBN- ja pankkitietojen järjestäminen, ARM-kurssien nollaaminen, tietokonegrafiikan suunnittelu ja kryptografia, joka auttaa suojaamaan yksityisiä tietoja.

Tietoa kirjoittajasta

Corin on innokas taloudellisten aiheiden tutkija ja kirjoittaja – hän tutkii taloudellisia suuntauksia, sitä, miten ne vaikuttavat väestöön, sekä sitä, miten kuluttajia voidaan auttaa tekemään viisaampia taloudellisia päätöksiä. Hänen muita artikkeleitaan voi lukea Inquirer.netistä ja Manileno.comista. Hän on suorittanut maisterin tutkinnon luovassa kirjoittamisessa Filippiinien yliopistossa, joka on yksi maailman parhaista akateemisista oppilaitoksista, ja kandidaatin tutkinnon viestintätaiteissa Miriam Collegessa.

Jakaantunut omaisuus.

Vastaa

Sähköpostiosoitettasi ei julkaista.