Calculadora de módulos.

Formatos

Se pueden ver operaciones de módulo sobre números expresadas como cualquiera de las siguientes

  • a módulo n
  • a mod n (versión abreviada)

Ejemplo de problemas matemáticos

17 módulo 3

  • 17 – 3 = 14
  • 14 – 3 = 11
  • 11 – 3 = 8
  • 8 – 3 = 5
  • 5 – 3 = 2

20 mod 5

  • 20 – 5 = 15
  • 15 – 5 = 10
  • 10 – 5 = 5
  • 5 – 5 = 0

Módulo: Definición, cómo funciona y usos en la vida real

– Guía Autorizada por Corin B. Arenas, publicada el 24 de octubre de 2019

La mayoría de la gente no ha oído hablar de la aritmética modular o mod fuera de la clase de matemáticas.

Sin embargo, si alguna vez has calculado el almuerzo para 10 personas, y te has encontrado con que sobra mucha comida, en realidad estás tratando con un problema de mod. La gente utiliza la aritmética modular todo el tiempo, especialmente con cualquier cosa que implique restos, tiempo y horarios de calendario.

En esta sección, aprenderás sobre el módulo, su funcionamiento básico y sus usos en la vida real.

¿Qué es el módulo?

Porción de pastel

La aritmética modular, a veces llamada aritmética del reloj, es un cálculo que implica un número que se pone a cero cada vez que se alcanza un número mayor que 1, que es el mod. Un ejemplo de esto es el reloj digital de 24 horas, que se pone a cero a medianoche.

En matemáticas, el módulo es el resto o el número que queda después de dividir un número por otro valor. El módulo también se denomina ‘mod.’

El formato estándar para mod es:
a mod n
Donde a es el valor que se divide por n.

Por ejemplo, estás calculando 15 mod 4. Cuando divides 15 entre 4, hay un resto.
15 / 4 = 3,75

En lugar de su forma decimal (0,75), cuando utilizas la función mod en una calculadora, el resto es un número entero. Para este ejemplo, 15 / 4 = resto 3, que también es 15 = (4 * 3) + 3. He aquí cómo calcularlo manualmente:

15 mod 4
15 – 4 = 11
11 – 4 = 7
7 – 4 = 3

Calcular mod con un número negativo

Profesor que enseña

Uno podría suponer que la función mod genera los mismos valores que los números positivos cuando un número es negativo. En realidad no es así.

Por ejemplo, si tienes 340 mod 60, el resto es 40.
Pero si tienes -340 mod 60, el resto es 20.

¿Por qué ocurre esto? Mathforum.org lo explica, con un número positivo como 340, el múltiplo restado es menor que el valor absoluto, lo que da como resultado 40.

340 mod 60
340 – 60 = 280
280 – 60 = 220
220 – 60 = 160
160 – 60 = 100
100 – 60 = 40

Pero con -340, restamos un número con un valor absoluto mayor, por lo que la función mod genera un valor positivo. El resto resultante también es menor comparado con cuando ambos números son positivos.

Así se resuelve mod con un número negativo:
a mod n es a/n = r (resto)
Por tanto, a mod n = a – r * n

Toma nota: Cuando introducimos a/b en una calculadora, tomamos la parte decimal del valor generado, y lo redondeamos al siguiente entero. Hagámoslo con el siguiente ejemplo:

-340 mod 60
-340/60 = 5,6, cuando tomamos la parte decimal, se convierte en el entero -6
= -340 -(-6) * 60
= -340 -(-360)
= 20

Para ayudarte a visualizar, la recta numérica de abajo muestra la diferencia de valor.

Diferencia de valor

¿Quién creó la aritmética modular?

Pergamino chino

Según Britannica, el concepto de aritmética modular ha sido utilizado por civilizaciones antiguas como la india y la china. Un ejemplo es el libro chino Master Sun’s Mathematical Manual, que data del año 300 d.C.

Además, la aritmética modular se utilizaba para resolver los cálculos astronómicos y estacionales que eran problemas asociados a los ciclos naturales y a los creados por el hombre.

Carl Friedrich Gauss y la teoría de los números

Carl Gauss

En las matemáticas occidentales, el matemático y físico alemán Carl Friedrich Gaussrealizó el primer estudio sistemático de la aritmética modular. Gauss está considerado como una de las figuras más influyentes de la matemática moderna.

En 1801, a los 20 años, publicó Disquisitiones Arithmeticae, que sentó las bases de la actual teoría de los números y mostró la primera demostración de la ley de reciprocidad cuadrática.

En la teoría de los números, los estudiosos analizan las propiedades de los números naturales, que son números enteros como -1, -2, 0, 1, 2, etc. Elobjetivo es descubrir patrones matemáticos inesperados e interaccionesentre los números naturales.

Britannica señala que en la aritmética modular, donde mod es N, todos los números (0, 1, 2, …, N – 1,) se conocen como residuos módulo N. Los residuos se suman encontrando la suma aritmética de los números, y el mod se resta de la suma tantas veces como sea posible. Esto disminuye la suma a un número M, que está entre 0 y N – 1.

En su libro, Gauss incluyó una notación con el símbolo ≡, que se lee como «es congruente con». En lugar del habitual símbolo =, los tres segmentos de línea horizontal significan tanto la igualdad como la definición.

Por ejemplo, si sumamos la suma de 2, 4, 3 y 7, la suma es congruente con 6 (mod 10). Es decir, 16 ≡ (mod 10). Esto significa que 16 dividido entre 10 deja un resto de 6. Asimismo, 16 – 10 = 6.

Otro ejemplo, 13 ≡ 1 (mod 12). Esto significa que 13 dividido por 12 deja un resto de 1. Del mismo modo, 13 – 12 = 1.

¿Cuáles son los usos del mundo real para Mod?

Para aplicaciones prácticas, mod es especialmente útil para tratar con el tiempo.

Dado que tenemos 24 horas en un día, tiene sentido referirse al tiempo en una forma de 24 horas. Este es el principio detrás del sistema de tiempo militar, comenzando a medianoche con 0000 horas, y terminando la hora a las 11PM con 2300 horas.

9 O'Clock

En lugar de decir 9 o’clock PM, dicen 2100 horas. Los militares utilizan esto para coordinarse con las bases y otro personal situado en zonas horarias indiferentes. Además, todos los pilotos (comerciales o no) utilizan el reloj de 24 horas para evitar confusiones al viajar entre zonas horarias.

Para establecer un estándar, los pilotos y los militares utilizan la hora del meridiano de Greenwich (GMT) que también llaman hora zulú (Z). Por ejemplo, cuando los pilotos informan que un avión llegará a una base a las 2100Z, significa que llegará a las 9PM GMT.

¿Cómo se relaciona esto con el módulo? Para las personas que permanecen en una zona horaria, es más importante decir la hora separando la noche y el día.Esta es la razón por la que la hora estándar de 12 horas utiliza el módulo.

En vez de decir 1600 horas, decimos simplemente las 4. La hora estándar de 12 horas utiliza el modulo 12 para que las 1600 horas se conviertan en las 4.

Cuando hacemos citas, generalmente se entiende que la gente quiere decir las 4 de la tarde. A menos que se especifique lo contrario, una reunión a las 4 de la mañana es absurda, a no ser que se trabaje por la noche y se tengan reuniones en línea con clientes de otras zonas horarias.

Organización de libros, información bancaria y tasas de préstamos para la vivienda

Tarjetas de crédito

Mod es útil para organizar información grande. El seguimiento de los libros se realiza mediante aritmética modular para calcular las sumas de comprobación de los números internacionales de libro estándar (ISBN). En 2007, se introdujo un sistema de números ISBN de 13 dígitos (que antes eran 10) para ayudar a los fabricantes a identificar un gran volumen de libros.

Este mismo principio también lo utilizan los bancos para identificar errores en los números de cuentas bancarias internacionales (IBAN) cuando hacen un seguimiento de las transacciones de otros países.

Cuando se trata de préstamos para la vivienda, el mod se utiliza para reajustar los cálculos para un nuevo período. Por ejemplo, una hipoteca de tipo variable (ARM) 5/6 reajusta sus tipos de interés periódicamente cada 6 meses. El mod se utiliza para ajustar los tipos en consecuencia.

Criptografía y arte generado por ordenador

Arte modular

La aritmética modular tiene otras aplicaciones en el campo de la criptografía, el arte y el diseño gráfico.

Durante muchos años, los artistas han utilizado formas matemáticas basadas en fórmulas para crear diseños. Hoy en día, el mismo concepto se aplica a los gráficos por ordenador, así como a las esculturas y a las pinturas modernas.

En la criptografía, se escriben códigos para proteger datos secretos. Los criptógrafos utilizan mod en el intercambio de claves Diffie-Hellman en la configuración de las conexiones SSL para cifrar el tráfico web.

El cifrado es importante porque permite a los usuarios salvaguardar la información. Por eso, sus correos electrónicos personales, el número de su tarjeta de crédito y otros datos personales deberían estar encriptados siempre que envíe información por Internet.

El resultado final

Mod es una función matemática que nos permite medir el resto de una suma. Utilizamos este concepto fundamental siempre que decimos la hora.

El concepto de aritmética modular ha sido utilizado por los antiguos chinos e indios durante siglos. Pero fue introducido en las matemáticas occidentales por el científico alemán Carl Friedrich Gauss, que también desarrolló la base de la teoría de los números.

Los usos del mundo real del mod incluyen la organización de la información del ISBN y de los bancos, el reajuste de las tasas del ARM, el diseño de gráficos por ordenador y la criptografía que ayuda a proteger los datos privados.

Acerca de la autora

Corin es una ferviente investigadora y escritora de temas financieros: estudia las tendencias económicas, cómo afectan a las poblaciones y cómo ayudar a los consumidores a tomar decisiones financieras más sabias. Sus otros artículos pueden leerse en Inquirer.net y Manileno.com. Tiene un máster en Escritura Creativa por la Universidad de Filipinas, una de las mejores instituciones académicas del mundo, y una licenciatura en Artes de la Comunicación por el Miriam College.

Activos divididos.

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