Modulo-Rechner.

Formate

Modulo-Operationen an Zahlen können in einer der folgenden Formen ausgedrückt werden

  • a modulo n
  • a mod n (abgekürzte Version)

Beispielhafte Mathematikaufgaben

17 modulo 3

  • 17 – 3 = 14
  • 14 – 3 = 11
  • 11 – 3 = 8
  • 8 – 3 = 5
  • 5 – 3 = 2

20 mod 5

  • 20 – 5 = 15
  • 15 – 5 = 10
  • 10 – 5 = 5
  • 5 – 5 = 0

Modulo: Definition, Funktionsweise und reale Anwendungen

– Leitfaden Verfasst von Corin B. Arenas, veröffentlicht am 24. Oktober 2019

Die meisten Menschen haben außerhalb des Matheunterrichts noch nie etwas von modularer Arithmetik oder mod gehört.

Wenn du aber schon einmal ein Mittagessen für 10 Personen geschätzt und festgestellt hast, dass eine Menge Essen übrig geblieben ist, hast du es tatsächlich mit einem Mod-Problem zu tun. Die Leute benutzen die modulare Arithmetik ständig, besonders bei allem, was mit Resten, Zeit und Kalenderplänen zu tun hat.

In diesem Abschnitt erfährst du etwas über Modulo, seine grundlegende Funktionsweise und seine Anwendungen im wirklichen Leben.

Was ist Modulo?

Schnittchen

Modulare Arithmetik, manchmal auch Uhrenarithmetik genannt, ist eine Berechnung, bei der eine Zahl verwendet wird, die sich jedes Mal auf Null zurücksetzt, wenn eine ganze Zahl größer als 1, also der Mod, erreicht wird. Ein Beispiel hierfür ist die 24-Stunden-Digitaluhr, die sich um Mitternacht auf 0 zurücksetzt.

In der Mathematik ist der Modulo der Rest oder die Zahl, die übrig bleibt, nachdem eine Zahl durch einen anderen Wert geteilt wurde. Der Modulo wird auch als ‚mod‘ bezeichnet.

Das Standardformat für mod ist:
a mod n
Wobei a der Wert ist, der durch n geteilt wird.

Zum Beispiel rechnest du 15 mod 4. Wenn du 15 durch 4 teilst, bleibt ein Rest übrig.
15 / 4 = 3,75

Anstatt der Dezimalform (0,75) ist der Rest eine ganze Zahl, wenn du die Funktion mod in einem Taschenrechner verwendest. In diesem Beispiel ist 15 / 4 = Rest 3, also 15 = (4 * 3) + 3. Hier ist, wie man es manuell berechnet:

15 mod 4
15 – 4 = 11
11 – 4 = 7
7 – 4 = 3

Berechnen von Mod mit einer negativen Zahl

Professor im Unterricht

Man könnte annehmen, dass die Mod-Funktion die gleichen Werte wie positive Zahlen erzeugt, wenn eine Zahl negativ ist. Das ist aber nicht der Fall.

Wenn man zum Beispiel 340 mod 60 hat, ist der Rest 40.
Wenn man aber -340 mod 60 hat, ist der Rest 20.

Warum ist das so? Mathforum.org erklärt, dass bei einer positiven Zahl wie 340 das abgezogene Vielfache kleiner ist als der absolute Wert, was 40 ergibt.

340 mod 60
340 – 60 = 280
280 – 60 = 220
220 – 60 = 160
160 – 60 = 100
100 – 60 = 40

Aber bei -340 subtrahieren wir eine Zahl mit einem größeren Absolutwert, so dass die mod-Funktion einen positiven Wert erzeugt. Der resultierende Rest ist auch kleiner, als wenn beide Zahlen positiv sind.

So löst man mod mit einer negativen Zahl:
a mod n ist a/n = r (Rest)
Daher ist a mod n = a – r * n

Achtung: Wenn wir a/b in einen Taschenrechner eingeben, nehmen wir den Dezimalteil des erzeugten Wertes und runden ihn auf die nächste ganze Zahl auf. Machen wir es mit dem folgenden Beispiel:

-340 mod 60
-340/60 = 5,6, wenn wir den Dezimalteil nehmen, wird es die ganze Zahl -6
= -340 -(-6) * 60
= -340 -(-360)
= 20

Zur Veranschaulichung zeigt die Zahlenreihe unten den Unterschied im Wert.

Wertdifferenz

Wer hat die modulare Arithmetik erfunden?

Chinesische Schriftrolle

Nach Britannica wurde das Konzept der modularen Arithmetik von alten Zivilisationen wie den Indern und Chinesen verwendet. Ein Beispiel dafür ist das chinesische Buch Master Sun’s Mathematical Manual, das auf das Jahr 300 n. Chr. zurückgeht.

Darüber hinaus wurde die modulare Arithmetik verwendet, um astronomische und jahreszeitliche Berechnungen zu lösen, die Probleme im Zusammenhang mit natürlichen und vom Menschen verursachten Zyklen darstellten.

Carl Friedrich Gauß und die Zahlentheorie

Carl Gauß

In der westlichen Mathematik hat der deutsche Mathematiker und Physiker Carl Friedrich Gauß die erste systematische Untersuchung der modularen Arithmetik durchgeführt. Gauß gilt als eine der einflussreichsten Persönlichkeiten der modernen Mathematik.

Mit Anfang 20 veröffentlichte er 1801 die Disquisitiones Arithmeticae, die den Grundstein für die heutige Zahlentheorie legte und den ersten Beweis für das Gesetz der quadratischen Reziprozität lieferte.

In der Zahlentheorie analysieren die Wissenschaftler die Eigenschaften der natürlichen Zahlen, die ganze Zahlen wie -1, -2, 0, 1, 2 usw. sind. Ziel ist es, unerwartete mathematische Muster und Wechselwirkungen zwischen den natürlichen Zahlen zu entdecken.

Britannica merkt an, dass in der modularen Arithmetik, bei der mod gleich N ist, alle Zahlen (0, 1, 2, …, N – 1,) als Residuen modulo N bekannt sind. Die Residuen werden addiert, indem die arithmetische Summe der Zahlen gefunden wird, und mod wird so oft wie möglich von der Summe abgezogen. Dadurch verringert sich die Summe auf eine Zahl M, die zwischen 0 und N – 1 liegt.

In seinem Buch hat Gauß eine Notation mit dem Symbol ≡ eingeführt, das als „ist kongruent zu“ gelesen wird. Anstelle des üblichen Symbols = bedeuten die drei waagerechten Striche sowohl Gleichheit als auch Definition.

Wenn wir zum Beispiel die Summe von 2, 4, 3 und 7 addieren, ist die Summe kongruent zu 6 (mod 10). Das ist 16 ≡ (mod 10). Das bedeutet, dass 16 geteilt durch 10 einen Rest von 6 ergibt. Ebenso ist 16 – 10 = 6.

Ein anderes Beispiel: 13 ≡ 1 (mod 12). Das bedeutet, dass 13 geteilt durch 12 einen Rest von 1 ergibt. 13 – 12 = 1.

Welche Anwendungen gibt es in der realen Welt für Mod?

Für praktische Anwendungen ist Mod besonders nützlich, um mit der Zeit umzugehen.

Da ein Tag 24 Stunden hat, ist es sinnvoll, sich auf die Zeit im 24-Stunden-System zu beziehen. Dies ist das Prinzip des militärischen Zeitsystems, das um Mitternacht mit 0000 Stunden beginnt und um 23 Uhr mit 2300 Stunden endet.

9 O'Clock

Anstatt 9 Uhr PM zu sagen, sagt man 2100 Stunden. Das Militär nutzt dies, um sich mit Stützpunkten und anderem Personal in verschiedenen Zeitzonen abzustimmen. Außerdem verwenden alle Piloten (ob kommerziell oder nicht) die 24-Stunden-Uhr, um Verwirrung zu vermeiden, wenn sie zwischen Zeitzonen reisen.

Um einen Standard zu setzen, verwenden Piloten und das Militär die Greenwich Mean Time (GMT), die sie auch Zulu Time (Z) nennen. Wenn Piloten zum Beispiel melden, dass ein Flugzeug einen Stützpunkt um 2100 Uhr erreichen wird, bedeutet das, dass es um 21 Uhr GMT ankommen wird.

Was hat das mit Modulo zu tun? Für Menschen, die sich in einer Zeitzone aufhalten, ist es wichtiger, die Zeit durch die Trennung von Tag und Nacht zu bestimmen, weshalb die 12-Stunden-Standardzeit Modulo verwendet.

Anstatt 1600 Uhr zu sagen, sagen wir einfach 4 Uhr. Die 12-Stunden-Standardzeit verwendet mod 12, so dass 1600 Stunden zu 4 Uhr werden.

Wenn wir Termine vereinbaren, meinen die Leute in der Regel 4 Uhr nachmittags. Wenn nicht anders angegeben, ist ein Treffen um 4 Uhr morgens absurd, es sei denn, Sie arbeiten nachts und haben Online-Meetings mit Kunden aus anderen Zeitzonen.

Bücher, Bankinformationen und Zinssätze für Wohnungskredite organisieren

Kreditkarten

Mod ist nützlich, um große Informationen zu organisieren. Bücher werden mithilfe der modularen Arithmetik verfolgt, um Prüfsummen für internationale Standardbuchnummern (ISBN) zu berechnen. Im Jahr 2007 wurde ein 13-stelliges ISBN-Nummernsystem (vorher 10) eingeführt, um den Herstellern zu helfen, eine große Menge an Büchern zu identifizieren.

Das gleiche Prinzip wird auch von Banken verwendet, um Fehler bei internationalen Bankkontonummern (IBAN) zu erkennen, wenn sie Transaktionen aus anderen Ländern verfolgen.

Bei Wohnungsbaudarlehen wird mod verwendet, um Berechnungen für einen neuen Zeitraum zurückzusetzen. Bei einem Hypothekendarlehen mit variablem Zinssatz (ARM) von 5/6 werden die Zinssätze beispielsweise regelmäßig alle 6 Monate neu festgesetzt. Mod wird verwendet, um die Zinssätze entsprechend anzupassen.

Kryptographie und computergenerierte Kunst

Modulare Kunst

Modulare Arithmetik hat weitere Anwendungen im Bereich der Kryptographie, der Kunst und des Grafikdesigns.

Seit vielen Jahren verwenden Künstler mathematische Formen, die auf Formeln basieren, um Designs zu erstellen. Heute wird das gleiche Konzept in der Computergrafik, in der Bildhauerei und in der modernen Malerei angewendet.

In der Kryptographie werden Codes geschrieben, um geheime Daten zu schützen. Kryptographen verwenden Mods im Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch beim Aufbau von SSL-Verbindungen zur Verschlüsselung des Internetverkehrs.

Die Verschlüsselung ist wichtig, weil sie es den Benutzern ermöglicht, Informationen zu schützen. Deshalb sollten Ihre persönlichen E-Mails, Kreditkartennummern und andere persönliche Daten verschlüsselt werden, wenn Sie Informationen über das Internet versenden.

Das Fazit

Mod ist eine mathematische Funktion, mit der wir den Rest einer Summe messen können. Wir verwenden dieses grundlegende Konzept, wenn wir die Zeit messen.

Das Konzept der modularen Arithmetik wurde von den alten Chinesen und Indern seit Jahrhunderten verwendet. In die westliche Mathematik wurde es von dem deutschen Wissenschaftler Carl Friedrich Gauß eingeführt, der auch die Grundlage für die Zahlentheorie entwickelte.

Zu den realen Anwendungen von mod gehören die Organisation von ISBN- und Bankdaten, die Rückstellung von ARM-Raten, das Design von Computergrafiken und die Kryptografie, die zum Schutz privater Daten beiträgt.

Über die Autorin

Corin ist eine leidenschaftliche Forscherin und Autorin von Finanzthemen – sie studiert wirtschaftliche Trends, wie sie sich auf die Bevölkerung auswirken und wie man Verbrauchern helfen kann, klügere finanzielle Entscheidungen zu treffen. Ihre weiteren Artikel sind auf Inquirer.net und Manileno.com zu lesen. Sie hat einen Master-Abschluss in kreativem Schreiben von der University of the Philippines, einer der besten akademischen Einrichtungen der Welt, und einen Bachelor-Abschluss in Kommunikationswissenschaften vom Miriam College.

Geteiltes Vermögen.

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