Modulo Calculator.

Formater

Du kan se modulo-operationer på tal udtrykt som en af følgende

  • a modulo n
  • a mod n (forkortet version)

Eksempel på matematiske opgaver

17 modulo 3

  • 17 – 3 = 14
  • 14 – 3 = 11
  • 11 – 3 = 8
  • 8 – 3 = 5
  • 5 – 3 = 2

20 mod 5

  • 20 – 5 = 15
  • 15 – 5 = 10
  • 10 – 5 = 5
  • 5 – 5 = 0

Modulo: Definition, hvordan det virker og anvendelser i det virkelige liv

– Guide Forfattet af Corin B. Arenas, udgivet den 24. oktober 2019

De fleste mennesker har ikke hørt om modulær aritmetik eller mod uden for matematiktimerne.

Hvis du nogensinde har estimeret frokost til 10 personer og fundet ud af, at der er en masse mad tilovers, har du faktisk at gøre med et mod-problem. Folk bruger modulær aritmetik hele tiden, især med alt, hvad der involverer rester, tid og kalenderskemaer.

I dette afsnit vil du lære om modulo, dets grundlæggende funktion og dets anvendelser i det virkelige liv.

Hvad er modulo?

Skive kage

Modular aritmetik, undertiden kaldet uraritmetik, er en beregning, der involverer et tal, der nulstiller sig selv til nul, hver gang et heltal større end 1, som er mod, er nået. Et eksempel på dette er det digitale 24-timers ur, som nulstiller sig selv til 0 ved midnat.

I matematik er modulo resten eller det tal, der er tilbage, efter at et tal er blevet divideret med en anden værdi. Modulo omtales også som ‘mod’.

Standardformatet for mod er:
a mod n
Hvor a er den værdi, der divideres med n.

Til eksempel beregner du 15 mod 4. Når du dividerer 15 med 4, er der en rest.
15 / 4 = 3,75

I stedet for dens decimalform (0,75) er resten et helt tal, når du bruger mod-funktionen i en lommeregner. I dette eksempel er 15 / 4 = rest 3, hvilket også er 15 = (4 * 3) + 3. Sådan beregner du det manuelt:

15 mod 4
15 – 4 = 11
11 – 4 = 7
7 – 4 = 3

Beregning af mod med et negativt tal

Professor undervisning

Man kunne formode, at mod-funktionen genererer de samme værdier som positive tal, når det ene tal er negativt. Det er faktisk ikke tilfældet.

For eksempel, hvis man har 340 mod 60, er resten 40.
Men hvis man har -340 mod 60, er resten 20.

Hvorfor sker det? Mathforum.org forklarer, at med et positivt tal som 340 er det multiple, der trækkes fra, mindre end den absolutte værdi, hvilket resulterer i 40.

340 mod 60
340 – 60 = 280
280 – 60 = 220
220 – 60 = 160
160 – 60 = 100
100 – 60 = 40

Men med -340 trækker vi et tal med en større absolut værdi fra, så mod-funktionen genererer en positiv værdi. Den resulterende rest er også mindre i forhold til, når begge tal er positive.

Her er hvordan man løser mod med et negativt tal:
a mod n er a/n = r (rest)
Derfor er a mod n = a – r * n

Her er at bemærke: Når vi indtaster a/b i en lommeregner, tager vi den decimale del af den genererede værdi og runder den op til det næste hele tal. Lad os gøre det med nedenstående eksempel:

-340 mod 60
-340/60 = 5,6, når vi tager decimaldelen, bliver det til heltallet -6
= -340 -(-6) * 60
= -340 -(-360)
= 20

For at hjælpe dig med at visualisere, viser tallinjen nedenfor forskellen i værdien.

Værdiforskel

Hvem skabte modulær aritmetik?

Kinesisk skriftrulle

Ifølge Britannica er begrebet modulær aritmetik blevet brugt af gamle civilisationer som f.eks. indianerne og kineserne. Et eksempel er den kinesiske bog Master Sun’s Mathematical Manual, som stammer fra 300 e.Kr.

Dertil kommer, at modulær aritmetik blev brugt til at løse astronomiske og sæsonmæssige beregninger, som var problemer forbundet med naturlige og menneskeskabte cyklusser.

Carl Friedrich Gauss og talteorien

Carl Gauss

I den vestlige matematik foretog den tyske matematiker og fysiker Carl Friedrich Gauss den første systematiske undersøgelse af modulær aritmetik. Gauss anses for at være en af de mest indflydelsesrige personer i moderne matematik.

I begyndelsen af 20’erne i 1801 udgav han Disquisitiones Arithmeticae, som lagde grunden til den nuværende talteori og viste det første bevis for loven om kvadratisk reciprocitet.

I talteorien analyserer de lærde egenskaberne ved naturlige tal, som er hele tal som -1, -2, 0, 1, 2 osv. Deres mål er at opdage uventede matematiske mønstre og interaktioner mellem naturlige tal.

Britannica bemærker, at i modulær aritmetik, hvor mod er N, er alle tallene (0, 1, 2, …, N – 1,) kendt som residualer modulo N. Residualerne lægges sammen ved at finde den aritmetiske sum af tallene, og mod trækkes fra summen så mange gange som muligt. Herved formindskes summen til et tal M, som ligger mellem 0 og N – 1.

I sin bog medtog Gauss en notation med symbolet ≡, som læses som “er kongruent med”. I stedet for det sædvanlige =-symbol betyder de trehorisontale linjestykker både lighed og definition.

For eksempel, hvis vi lægger summen af 2, 4, 3 og 7 sammen, er summen kongruent med 6 (mod 10). Det er 16 ≡ (mod 10). Det betyder, at 16 divideret med 10 giver en rest på 6. På samme måde er 16 – 10 = 6.

Et andet eksempel, 13 ≡ 1 (mod 12). Det betyder, at 13 divideret med 12 giver en rest på 1. På samme måde er 13 – 12 = 1.

Hvad er virkelige anvendelser af mod?

I praktiske anvendelser er mod især nyttigt til at håndtere tid.

Da vi har 24 timer i døgnet, giver det mening at henvise til tid på en 24-timers måde. Dette er princippet bag det militære tidssystem, der begynder ved midnat med 0000 timer og slutter klokken 23:00 med 2300 timer.

9 O'Clock

I stedet for at sige klokken 21.00 siger man 2100 timer. Militæret bruger dette til at koordinere med baser og andet personale, der befinder sig i forskellige tidszoner. Desuden bruger alle piloter (kommercielle eller andre) 24-timers uret for at undgå forvirring, når de rejser mellem tidszoner.

For at fastsætte en standard bruger piloter og militæret Greenwich Mean Time (GMT), som de også kalder Zulu-tid (Z). Når piloter f.eks. rapporterer, at et fly vil nå en base kl. 2100Z, betyder det, at det vil ankomme kl. 21.00 GMT.

Hvordan hænger det sammen med modulo? For folk, der opholder sig i én tidszone, er det vigtigere at afgøre tiden ved at adskille nat og dag, og derfor bruger 12-timers standardtid modulo.

I stedet for at sige kl. 1600 siger vi bare kl. 4. Den 12-timers standardtid bruger mod 12, så 1600 timer bliver til klokken 4.

Når vi laver aftaler, er det almindeligt forstået, at folk mener kl. 16 om eftermiddagen. Medmindre andet er angivet, er et møde kl. 4 om morgenen absurd,medmindre du arbejder om natten og har onlinemøder med kunder fra andre tidszoner.

Organisering af bøger, bankoplysninger og boliglånsrenter

Kreditkort

Mod er nyttigt til organisering af store oplysninger. Bøger spores ved hjælp af modulær aritmetik til beregning af kontrolsummer for internationale standardbognumre (ISBN). I 2007 blev der indført et 13-cifret ISBN-nummer (som tidligere var 10) for at hjælpe producenterne med at identificere store mængder bøger.

Det samme princip bruges også af banker til at identificere fejl i internationale bankkontonumre (IBAN), når de sporer transaktioner fra andre lande.

Når det drejer sig om boliglån, bruges mod til at nulstille beregninger for en ny periode. F.eks. nulstiller et 5/6 justerbart realkreditlån (ARM) sine rentesatser med jævne mellemrum hver 6. måned. Mod bruges til at justere satserne i overensstemmelse hermed.

Kryptografi og computergenereret kunst

Modulær kunst

Modulær aritmetik har andre anvendelser inden for kryptografi, kunst og grafisk design.

I mange år har kunstnere brugt matematiske former baseret på formler til at skabe design. I dag anvendes det samme koncept på computergrafik samt på skulpturer og moderne malerier.

I kryptografi skrives der koder for at beskytte hemmelige data. Kryptografer bruger mod i Diffie-HellmanKey Exchange ved opsætning af SSL-forbindelser til at kryptere webtrafik.

Kryptering er vigtig, fordi den giver brugerne mulighed for at beskytte oplysninger. Derfor bør dine personlige e-mails, dit kreditkortnummer og andre personlige oplysninger krypteres, når du sender oplysninger på internettet.

Bottom Line

Mod er en matematisk funktion, der giver os mulighed for at måle resten i en sum. Vi bruger dette grundlæggende begreb, når vi fortæller tiden.

Begrebet modulær aritmetik er blevet brugt af gamle kinesere og indere i århundreder. Men det blev indført i den vestlige matematik af den tyske videnskabsmand Carl Friedrich Gauss, som også udviklede grundlaget for talteorien.

Den virkelige anvendelse af modularitet omfatter organisering af ISBN- og bankoplysninger, nulstilling af ARM-kurser, design af computergrafik og kryptografi, som hjælper med at beskytte private data.

Om forfatteren

Corin er en ivrig forsker og forfatter inden for finansielle emner – han studerer økonomiske tendenser, hvordan de påvirker befolkninger, og hvordan man kan hjælpe forbrugerne med at træffe klogere finansielle beslutninger. Hendes andre artikler kan læses på Inquirer.net og Manileno.com. Hun har en mastergrad i kreativ skrivning fra University of the Philippines, en af de bedste akademiske institutioner i verden, og en bachelorgrad i kommunikationskunst fra Miriam College.

Divided Assets.

Skriv et svar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret.