Modulo kalkulačka.

Formáty

Můžete se setkat s operacemi modulo na číslech vyjádřenými některým z následujících způsobů

    .

  • a modulo n
  • a mod n (zkrácená verze)

Příkladové matematické úlohy

17 modulo 3

  • 17 -. 3 = 14
  • 14 – 3 = 11
  • 11 – 3 = 8
  • 8 – 3 = 5
  • 5 – 3 = 2

20 mod 5

  • 20 – 5 = 15
  • 15 – 5 = 10
  • 10 – 5 = 5
  • 5 – 5 = 0

modulo: Arenas, zveřejněno 24. října 2019

Většina lidí mimo hodiny matematiky o modulární aritmetice nebo modu neslyšela.

Jestliže jste však někdy odhadovali oběd pro 10 lidí a zjistili jste, že zbylo hodně jídla, řešili jste vlastně problém modu. Lidé používají modulární aritmetiku neustále, zejména při čemkoli, co se týká zbytků, času a kalendářních rozvrhů.

V této části se seznámíte s modulem, jeho základními operacemi a použitím v reálném životě.

Co je modulo?“

Krájení dortu

Modulová aritmetika, někdy nazývaná hodinová aritmetika, je výpočet, který zahrnuje číslo, které se vynuluje pokaždé, když se dosáhne celočíselné hodnoty větší než 1, což je mod. Příkladem jsou24hodinové digitální hodiny, které se o půlnoci vynulují.

Modulo je v matematice zbytek neboli číslo, které zůstane po vydělení čísla jinou hodnotou. Modulo se také označuje jako „mod“.

Standardní formát pro mod je:
a mod n
Kde a je hodnota, která je dělena n.

Příklad počítáte 15 mod 4.

Podívejte se na příklad. Když vydělíte 15 číslem 4, vznikne zbytek.
15 / 4 = 3,75

Při použití funkce mod v kalkulačce je zbytek místo desetinného tvaru (0,75) celé číslo. Pro tento příklad platí, že 15 / 4 = zbytek 3, což je také 15 = (4 * 3) + 3. Zde je návod, jak to vypočítat ručně:

15 mod 4
15 – 4 = 11
11 – 4 = 7
7 – 4 = 3

Výpočet mod se záporným číslem

Profesor učí

Dalo by se předpokládat, že funkce mod generuje stejné hodnoty jako kladná čísla, když je jedno číslo záporné. Ve skutečnosti tomu tak není.

Například když máte 340 mod 60, zbytek je 40.
Ale když máte -340 mod 60, zbytek je 20.

Proč k tomu dochází? Mathforum.org vysvětluje, že u kladného čísla, jako je 340, je odečítaný násobek menší než absolutní hodnota, takže výsledkem je 40.

340 mod 60
340 – 60 = 280
280 – 60 = 220
220 – 60 = 160
160 – 60 = 100
100 – 60 = 40

Ale u čísla -340 odečítáme číslo s větší absolutní hodnotou, takže funkce mod generuje kladnou hodnotu. Výsledný zbytek je také menší ve srovnání s tím, když jsou obě čísla kladná.

Takto řešíme mod se záporným číslem:
a mod n je a/n = r (zbytek)
Tedy a mod n = a – r * n

Pozor: Když zadáváme do kalkulačky a/b, bereme desetinnou část vygenerované hodnoty a zaokrouhlujeme ji na celé číslo nahoru. Udělejme to na příkladu níže:

-340 mod 60
-340/60 = 5,6, když vezmeme desetinnou část, stane se z ní celé číslo -6
= -340 -(-6) * 60
= -340 -(-360)
= 20

Abyste si to lépe představili, níže uvedená číselná řada ukazuje rozdíl hodnot.

Rozdíl v hodnotě

Kdo vytvořil modulární aritmetiku?

Čínský svitek

Podle Britannicy koncept modulární aritmetiky používaly již starověké civilizace, například Indové a Číňané. Příkladem je čínská kniha Matematická příručka mistra Suna, která pochází z roku 300 n. l.

Modulární aritmetika se navíc používala k řešení astronomických a sezónních výpočtů, což byly problémy spojené s přírodními a lidmi vytvořenými cykly.

Carl Friedrich Gauss a teorie čísel

Carl Gauss

V západní matematice německý matematik a fyzik Carl Friedrich Gaussprovedl první systematickou studii modulární aritmetiky. Gauss je považován za jednu z nejvlivnějších postav moderní matematiky.

Ve svých 20 letech v roce 1801 publikoval knihu Disquisitiones Arithmeticae, která položila základy dnešní teorie čísel a ukázala první důkaz zákona kvadratické reciprocity.

V teorii čísel učenci analyzují vlastnosti přirozených čísel, což jsou celá čísla jako -1, -2, 0, 1, 2 atd. Jejich cílem je objevit neočekávané matematické zákonitosti a interakce mezi přirozenými čísly.

Britannica uvádí, že v modulární aritmetice, kde mod je N,se všechna čísla (0, 1, 2, …, N – 1,) nazývají zbytky modulo N. Zbytky se sčítají tak, že se najde aritmetický součet čísel a mod se od součtu odečte tolikrát, kolikrát je to možné. Tím se součet zmenší na číslo M, které je mezi 0 a N – 1.

Gauss ve své knize uvedl zápis se symbolem ≡,který se čte jako „je kongruentní s“. Místo obvyklého symbolu = označují tři vodorovné úsečky jak rovnost, tak definici.

Příklad když sečteme součet čísel 2, 4, 3 a 7, je součet kongruentní s číslem 6 (mod 10). To je 16 ≡ (mod 10). To znamená, že když 16 vydělíme 10, zůstane zbytek 6. Stejně tak platí, že 16 – 10 = 6.

Další příklad: 13 ≡ 1 (mod 12). To znamená, že 13 děleno 12 ponechává zbytek 1. Stejně tak 13 – 12 = 1.

Jaké je reálné použití modu?

Pro praktické aplikace je mod užitečný zejména při práci s časem.

Protože máme 24 hodin v jednom dni, má smysl odkazovat na čas 24hodinovým způsobem. To je princip vojenského časového systému, který začíná o půlnoci číslem 0000 hodin a končí ve 23:00 hodin číslem 2300 hodin.

9 hodin

Místo toho, aby se řeklo 9 hodin večer, říká se 2100 hodin. Armáda to používá ke koordinaci se základnami a dalším personálem nacházejícím se v indiferentních časových pásmech. Kromě toho všichni piloti (komerční i jiní) používají 24hodinové hodiny, aby se vyhnuli zmatkům při cestování mezi časovými pásmy.

Pro stanovení standardu používají piloti a armáda greenwichský čas (GMT), kterému se také říká zulský čas (Z). Když například piloti hlásí, že letadlo přiletí na základnu ve 2100Z, znamená to, že přiletí ve 21:00 GMT.

Jak to souvisí s modulem? Pro lidi pobývajícív jednom časovém pásmu je důležitější určovat čas oddělením noci a dne. 12hodinový standardní čas proto používá modulo.

Místo toho, abychom řekli 16 hodin, řekneme prostě 4 hodiny. Dvanáctihodinový standardní čas používá mod 12, takže z 1600 hodin se stanou 4 hodiny.

Když si domlouváme schůzky, obecně se rozumí, že lidé mají na mysli 4 hodiny odpoledne. Pokud není uvedeno jinak, je schůzka ve 4 hodiny ráno nesmyslná,pokud nepracujete v noci a nemáte online schůzky s klienty z jiných časových pásem.

Organizace knih, bankovních informací a sazeb úvěrů na bydlení

Kreditní karty

Mod je užitečný pro organizaci velkých informací. Knihy jsou sledovány pomocí modulární aritmetiky pro výpočet kontrolních součtů pro mezinárodní standardní čísla knih (ISBN). V roce 2007 byl zaveden třináctimístný systém čísel ISBN(dříve byl desetimístný), který má výrobcům pomoci identifikovat velkýobjem knih.

Stejný princip používají také banky k identifikaci chyb na mezinárodních číslech bankovních účtů (IBAN) při sledování transakcí z jiných zemí.

Pokud jde o úvěry na bydlení, mod se používá k obnovení výpočtů pro nové období. Například hypotéka s nastavitelnou úrokovou sazbou 5/6 (ARM) pravidelně každých 6 měsíců resetuje své úrokové sazby. Mod se používá k odpovídající úpravě sazeb.

Kryptografie a počítačem generované umění

Modulární umění

Modulární aritmetika má další využití v oblasti kryptografie, umění a grafického designu.

Umělci již mnoho let používají k vytváření návrhů matematické tvary založené na vzorcích. Dnes se stejný koncept uplatňuje v počítačové grafice, stejně jako v sochařství a moderních obrazech.

V kryptografii se píší kódy k ochraně tajných dat. Kryptografové používají mod v Diffie-Hellmanově výměně klíčů při nastavování spojení SSL k šifrování webového provozu.

Šifrování je důležité, protože umožňuje uživatelům chránit informace. Proto by vaše osobní e-maily, čísla kreditních karet a další osobní údaje měly být zašifrovány, kdykoli posíláte informace na internetu.

Podtrženo a sečteno

Mod je matematická funkce, která nám umožňuje měřit zbytek v součtu. Tento základní pojem používáme vždy, když určujeme čas.

Koncept modulární aritmetiky používali staříČíňané a Indové po staletí. Do západní matematiky jej však zavedl německý vědec Carl Friedrich Gauss, který také vytvořil základ teorie čísel.

Mezi reálná využití modulu patří uspořádání informací o ISBN a bankovních informacích, resetování sazeb ARM, návrh počítačové grafiky a kryptografie, která pomáhá chránit soukromá data.

O autorovi

Corin je vášnivý badatel a spisovatel finančních témat – studuje ekonomické trendy, jejich vliv na obyvatelstvo a také to, jak pomoci spotřebitelům dělat moudřejší finanční rozhodnutí. Její další tematické články si můžete přečíst na stránkách Inquirer.net a Manileno.com. Získala magisterský titul v oboru tvůrčího psaní na Filipínské univerzitě, jedné z nejlepších akademických institucí na světě, a bakalářský titul v oboru komunikačních umění na Miriam College.

Dělí se o majetek.

.

Napsat komentář

Vaše e-mailová adresa nebude zveřejněna.